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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAndalucíaPAU 2017OrdinariaVariante Suplente

Matemáticas II · Andalucía 2017

8 ejercicios90 min de duración

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
Se sabe que la función f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} dada por f(x)={3x+2si x<0x2+2acos⁡(x)si 0≤x<πax2+bsi x≥π f(x) = \begin{cases} 3x + 2 & \text{si } x < 0 \\ x^2 + 2a \cos(x) & \text{si } 0 \leq x < \pi \\ ax^2 + b & \text{si } x \geq \pi \end{cases} es continua.
a)1,5 pts
Determina aa y bb.
b)1 pts
Estudia la derivabilidad de ff.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2,5 puntos
Calcula lim⁡x→0(1x−cos⁡xsen⁡x)\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x} - \frac{\cos x}{\sen x} \right).
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
Considera la función dada por f(x)=3+∣x∣f(x) = \sqrt{3 + |x|} para x∈[−3,3]x \in [-3, 3].
a)0,5 pts
Expresa la función ff definida a trozos.
b)2 pts
Halla ∫−33f(x)dx\int_{-3}^{3} f(x) dx.
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2,5 puntos
Sea f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} la función definida por f(x)=xarctg⁡(x)f(x) = x \arctg(x). Determina la primitiva de ff cuya gráfica pasa por el punto (0,π)(0, \pi).
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
Considera las matrices A=(−20011042−2)A = \begin{pmatrix} -2 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 4 & 2 & -2 \end{pmatrix} y B=(2120−15002)B = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & 5 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}.
a)1,25 pts
Calcula la matriz inversa de (A+B)(A + B).
b)1,25 pts
Calcula el determinante de 2A−1(A+B)t2A^{-1}(A + B)^t, siendo (A+B)t(A + B)^t la matriz traspuesta de A+BA + B.
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2,5 puntos
Considera las matrices A=(122101),B=(3112−11)yC=(110−1211−11). A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad C = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}. Determina, si existe, la matriz XX que verifica que ABX−2C=CXABX - 2C = CX.
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
Considera los vectores u⃗=(2,3,4)\vec{u} = (2, 3, 4), v⃗=(−1,−1,−1)\vec{v} = (-1, -1, -1) y w⃗=(−1,λ,−5)\vec{w} = (-1, \lambda, -5) siendo λ\lambda un número real.
a)1,25 pts
Halla los valores de λ\lambda para los que el paralelepípedo determinado por u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} y w⃗\vec{w} tiene volumen 66 unidades cúbicas.
b)1,25 pts
Determina el valor de λ\lambda para el que u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} y w⃗\vec{w} son linealmente dependientes.
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos
Sea rr la recta que pasa por A(4,3,6)A(4, 3, 6) y B(−2,0,0)B(-2, 0, 0) y sea ss la recta dada por {x=2+λy=λz=1−2λ\begin{cases} x = 2 + \lambda \\ y = \lambda \\ z = 1 - 2\lambda \end{cases}.
a)1,25 pts
Determina la posición relativa de rr y ss.
b)1,25 pts
Calcula, si existen, los puntos CC de ss tales que los vectores CA⃗\vec{CA} y CB⃗\vec{CB} son ortogonales.
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