Matemáticas CCSS · Castilla-La Mancha 2020

Se considera la función $f(x) = \begin{cases} (x + 4)^2 - 4 & \text{si } x \leq -2 \\ t & \text{si } -2 < x < 2 \\ (x - 4)^2 - 4 & \text{si } x \geq 2 \end{cases}$

Un artesano hace botines, botas de media caña y botas de caña alta, vendiendo cada par, respectivamente, a $150$, $200$ y $250$ euros. La diferencia entre los botines y las botas de caña alta vendidas equivalen al número de caña media vendidas. El número de caña alta vendidas es la tercera parte de los botines. Por el total de las ventas obtiene $5500$ euros.

La función $f(x) = ax^3 + bx^2 + 16x + c$ tiene un punto de inflexión en $(1, 10)$ y la pendiente de la recta tangente en ese mismo punto es $7$. Con estos datos, halla razonadamente los valores de los parámetros $a$, $b$ y $c$.

En el siguiente problema de programación lineal optimiza la función $f(x, y) = 6x - 2y$ sujeta a las siguientes restricciones: $$x + y \geq 2; \quad x - y \leq 2; \quad y \leq 1; \quad x \geq 0$$

En un instituto el $15\%$ de los alumnos ven la tele todos los días, el $25\%$ juegan todos los días a la consola y el $26\%$ ven la tele todos los días o juegan todos los días a la consola o ambos.

Se considera la función $f(x) = \begin{cases} x + t & \text{si } x \leq -1 \\ x^3 - 2x^2 + 4 & \text{si } x > -1 \end{cases}$

Para hacer un estudio de las horas de duración de la batería de un juguete, se tomó una muestra aleatoria de $10$ de estas baterías, siendo el número de horas de duración obtenida de: $4{,}2$, $4{,}6$, $5$, $5{,}7$, $5{,}8$, $5{,}9$, $6{,}1$, $6{,}2$, $6{,}5$ y $7{,}3$ respectivamente. Sabiendo que la variable “número de horas de duración de la batería” sigue una distribución normal de desviación típica $2{,}1$ horas, se pide:

Las botellas de agua vendidas por un hipermercado (que abre de $10$ de la mañana a $4$ de la tarde) durante una ola de calor viene dado por la función $C(t) = 2t^3 - 27t^2 + 120t$, con $1 \leq t \leq 6$ siendo $t = 1$ la primera hora desde la apertura y $t = 6$ la última hora hasta el cierre y $C(t)$ en cientos de botellas.

Una marca ofrece paquetes de tortitas de arroz de tres tipos: con espelta, con amapola y con chía. Se venden el triple de paquetes de las de amapola que de las de espelta. Se venden $40$ paquetes más de las de amapola que de las de chía. Los precios de los paquetes para espelta, amapola y chía son respectivamente $2{,}50$, $3{,}50$ y $3$ euros obteniendo por la venta de todas las tortitas $1640$ euros.

En una ciudad el $1\%$ de los habitantes ha ido a jugar alguna vez a una casa de apuestas. De las personas que han ido a jugar alguna vez a una casa de apuestas, el $70\%$ tiene problemas financieros. De los habitantes que no han ido a jugar alguna vez a una casa de apuestas, se sabe que un $5\%$ tiene problemas financieros.

Sean las matrices: $$A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 0 \\ 6 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad C = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ -4 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$

El tiempo medio de espera en una línea de atención al cliente sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica $\sigma = 2$ minutos. Se hace un estudio de los tiempos de espera de $10$ clientes al azar, siendo estos tiempos: $5$, $6$, $7$, $8$, $9$, $11$, $12$, $14$, $15$ y $16$ minutos respectivamente.