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la cuevadel empollón
Matemáticas IIBalearesPAU 2015Ordinaria

Matemáticas II · Baleares 2015

8 ejercicios90 min de duración

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
10 puntos
Considere el siguiente sistema de ecuaciones:
a)7 pts
Discuta para qué valores de aa el sistema siguiente es compatible: {a⋅x+y+z=a2x−y+z=13x−y−z=16x−y+z=3a\begin{cases} a \cdot x + y + z = a^2 \\ x - y + z = 1 \\ 3x - y - z = 1 \\ 6x - y + z = 3a \end{cases}
b)3 pts
Resuélvalo en el caso (o los casos) en que sea compatible.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
10 puntos
Considere la ecuación matricial AB−A=C\mathbf{A}\mathbf{B} - \mathbf{A} = \mathbf{C}.
a)6 pts
Demuestre que la ecuación matricial siguiente no tiene solución (Indicación: tome determinantes): AB−A=C,\mathbf{A}\mathbf{B} - \mathbf{A} = \mathbf{C}, donde B=(12131223),C=(1234).\mathbf{B} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{2} & \frac{2}{3} \end{pmatrix}, \quad \mathbf{C} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}.
b)4 pts
Resuelva la ecuación matricial anterior pero ahora tomando: B=(1213−1223),C=(1234).\mathbf{B} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \\ -\frac{1}{2} & \frac{2}{3} \end{pmatrix}, \quad \mathbf{C} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
10 puntos
Estudie la posición relativa de las rectas:
a)6 pts
Estudie la posición relativa de las rectas: r:x−2−3=y−35=z,s:{x=1−ty=2tz=5r: \frac{x - 2}{-3} = \frac{y - 3}{5} = z, \quad s: \begin{cases} x = 1 - t \\ y = 2t \\ z = 5 \end{cases}
b)4 pts
En caso de que se corten, halle el punto de intersección.
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
10 puntos
Halle la recta que pasa por el punto A(1,0,2)A(1, 0, 2) y es paralela a los planos x−2y+3z+1=0x - 2y + 3z + 1 = 0 y 2x−3y+z+6=02x - 3y + z + 6 = 0.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
10 puntos
Determine los valores de aa, bb y cc para que la función f(x)=x3+ax2+bx+cf(x) = x^3 + ax^2 + bx + c pase por el punto (1,0)(1, 0), tenga un máximo relativo en x=−1x = -1 y un mínimo relativo en x=0x = 0.
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
10 puntos
Demostraciones de raíces únicas.
a)4 pts
Demuestre que x=0x = 0 es la única raíz de la ecuación: 5x9+3x5+7x=05x^9 + 3x^5 + 7x = 0
b)6 pts
Demuestre que x=0x = 0 es la única raíz de la ecuación: ex=1+xe^x = 1 + x
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
10 puntos
Calcule la siguiente integral indefinida: ∫2x+5(x+3)3dx\int \frac{2x + 5}{(x + 3)^3} dx
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
10 puntos
Considere las curvas y=6x−x2y = 6x - x^2 y y=x2−2xy = x^2 - 2x.
a)4 pts
Haga un dibujo aproximado de las curvas y=6x−x2y = 6x - x^2 y y=x2−2xy = x^2 - 2x, e indique los puntos donde se cortan.
b)6 pts
Calcule el área del recinto limitado por las dos curvas anteriores.
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