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la cuevadel empollón
Matemáticas IIBalearesPAU 2015Ordinaria

Matemáticas II · Baleares 2015

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Conteste de manera clara y razonada una de las dos opciones propuestas. Se dispone de 90 minutos. Cada cuestión se puntúa sobre 10 puntos. La calificación final se obtiene de dividir el total entre 4. Se valorarán la corrección y la claridad en el lenguaje (matemático y no matemático) empleado por el alumno. Se valorarán negativamente los errores de cálculo. Puede utilizar calculadora de cualquier tipo, científica, gráfica o programable, pero no se autorizará el uso de las que lleven información almacenada o puedan transmitirla.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
10 puntos
Considere el siguiente sistema de ecuaciones:
a
Discuta para qué valores de aa el sistema siguiente es compatible:{a⋅x+y+z=a2x−y+z=13x−y−z=16x−y+z=3a\begin{cases} a \cdot x + y + z = a^2 \\ x - y + z = 1 \\ 3x - y - z = 1 \\ 6x - y + z = 3a \end{cases}7 pts
b
Resuélvalo en el caso (o los casos) en que sea compatible.3 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Estudie la posición relativa de las rectas:
a
Estudie la posición relativa de las rectas:r:x−2−3=y−35=z,s:{x=1−ty=2tz=5r: \frac{x - 2}{-3} = \frac{y - 3}{5} = z, \quad s: \begin{cases} x = 1 - t \\ y = 2t \\ z = 5 \end{cases}6 pts
b
En caso de que se corten, halle el punto de intersección.4 pts
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Determine los valores de aa, bb y cc para que la función f(x)=x3+ax2+bx+cf(x) = x^3 + ax^2 + bx + c pase por el punto (1,0)(1, 0), tenga un máximo relativo en x=−1x = -1 y un mínimo relativo en x=0x = 0.
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Ejercicio 4

4
10 puntos
Calcule la siguiente integral indefinida:∫2x+5(x+3)3dx\int \frac{2x + 5}{(x + 3)^3} dx
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Ejercicio 1

1
10 puntos
Considere la ecuación matricial AB−A=C\mathbf{A}\mathbf{B} - \mathbf{A} = \mathbf{C}.
a
Demuestre que la ecuación matricial siguiente no tiene solución (Indicación: tome determinantes):AB−A=C,\mathbf{A}\mathbf{B} - \mathbf{A} = \mathbf{C},dondeB=(12131223),C=(1234).\mathbf{B} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{2} & \frac{2}{3} \end{pmatrix}, \quad \mathbf{C} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}.6 pts
b
Resuelva la ecuación matricial anterior pero ahora tomando:B=(1213−1223),C=(1234).\mathbf{B} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \\ -\frac{1}{2} & \frac{2}{3} \end{pmatrix}, \quad \mathbf{C} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}.4 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Halle la recta que pasa por el punto A(1,0,2)A(1, 0, 2) y es paralela a los planos x−2y+3z+1=0x - 2y + 3z + 1 = 0 y 2x−3y+z+6=02x - 3y + z + 6 = 0.
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Demostraciones de raíces únicas.
a
Demuestre que x=0x = 0 es la única raíz de la ecuación:5x9+3x5+7x=05x^9 + 3x^5 + 7x = 04 pts
b
Demuestre que x=0x = 0 es la única raíz de la ecuación:ex=1+xe^x = 1 + x6 pts
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Ejercicio 4

4
10 puntos
Considere las curvas y=6x−x2y = 6x - x^2 y y=x2−2xy = x^2 - 2x.
a
Haga un dibujo aproximado de las curvas y=6x−x2y = 6x - x^2 y y=x2−2xy = x^2 - 2x, e indique los puntos donde se cortan.4 pts
b
Calcule el área del recinto limitado por las dos curvas anteriores.6 pts
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