Matemáticas II · Andalucía 2017

Se necesita construir un depósito cilíndrico, con tapas inferior y superior, con capacidad de $20\pi\,\text{m}^3$. El material para las tapas cuesta $10$ euros cada $\text{m}^2$ y el material para el resto del cilindro $8$ euros cada $\text{m}^2$. Calcula, si existe, el radio de las tapas y la altura del cilindro que hace que el coste total sea mínimo.

Considera la función $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ dada por $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$. Calcula $a$, $b$, $c$ y $d$ sabiendo que $f$ tiene un extremo relativo en $(0, 1)$ y su gráfica un punto de inflexión en $(1, -1)$.

Sea $I = \int_{0}^{8} \frac{1}{2 + \sqrt{x + 1}} dx$.

Considera la región limitada por la gráfica de la función dada por $f(x) = \sqrt{2x - 2}$ para $x \geq 1$, la recta $y = x - 5$ y el eje de abscisas.

Considera la matriz $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$

Sea $A$ una matriz $3 \times 3$ tal que $\det(2A) = 8$.

Considera los puntos $A(-1, -2, -1)$ y $B(1, 0, 1)$.

Considera los puntos $A(1, 1, 1)$, $B(0, -2, 2)$, $C(-1, 0, 2)$ y $D(2, -1, -2)$.