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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAndalucíaPAU 2017OrdinariaReserva A

Matemáticas II · Andalucía 2017

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Tienes que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B. c) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, ni gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados. d) En la puntuación máxima de cada ejercicio están contemplados 0,25 puntos para valorar la expresión correcta de los procesos y métodos utilizados.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Se necesita construir un depósito cilíndrico, con tapas inferior y superior, con capacidad de 20π m320\pi\,\text{m}^3. El material para las tapas cuesta 1010 euros cada m2\text{m}^2 y el material para el resto del cilindro 88 euros cada m2\text{m}^2. Calcula, si existe, el radio de las tapas y la altura del cilindro que hace que el coste total sea mínimo.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Sea I=∫0812+x+1dxI = \int_{0}^{8} \frac{1}{2 + \sqrt{x + 1}} dx.
a
Expresa II aplicando el cambio de variable t=2+x+1t = 2 + \sqrt{x + 1}.1,25 pts
b
Calcula el valor de II.1,25 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Considera la matriz A=(2−1−10)A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}
a
Comprueba que AAt−2A=IA A^t - 2A = I (AtA^t denota la traspuesta de AA e II la matriz identidad).0,5 pts
b
Calcula A−1A^{-1}.0,75 pts
c
Determina, si existe, la matriz XX que verifica XA+I=3AXA + I = 3A.1,25 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Considera los puntos A(−1,−2,−1)A(-1, -2, -1) y B(1,0,1)B(1, 0, 1).
a
Determina la ecuación del plano respecto del cual los puntos AA y BB son simétricos.1,25 pts
b
Calcula la distancia de P(−1,0,1)P(-1, 0, 1) a la recta que pasa por los puntos AA y BB.1,25 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Considera la función f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} dada por f(x)=ax3+bx2+cx+df(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d. Calcula aa, bb, cc y dd sabiendo que ff tiene un extremo relativo en (0,1)(0, 1) y su gráfica un punto de inflexión en (1,−1)(1, -1).
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Considera la región limitada por la gráfica de la función dada por f(x)=2x−2f(x) = \sqrt{2x - 2} para x≥1x \geq 1, la recta y=x−5y = x - 5 y el eje de abscisas.
a
Esboza la gráfica de la región dada, hallando los puntos de corte entre la gráfica de ff y las rectas.0,75 pts
b
Expresa mediante integrales el área del recinto anterior.0,75 pts
c
Calcula el área.1 pt
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Sea AA una matriz 3×33 \times 3 tal que det⁡(2A)=8\det(2A) = 8.
a
¿Cuánto vale det⁡(A)\det(A)?0,5 pts
b
Siendo BB la matriz que se obtiene de AA multiplicando por 33 la primera fila y por −1-1 la tercera, ¿cuánto vale det⁡(B)\det(B)?0,75 pts
c
Determina los valores de xx para los que la siguiente matriz AA verifica que det⁡(2A)=8\det(2A) = 8,A=(x11x+122x−x+21). A = \begin{pmatrix} x & 1 & 1 \\ x + 1 & 2 & 2 \\ x & -x + 2 & 1 \end{pmatrix}. 1,25 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Considera los puntos A(1,1,1)A(1, 1, 1), B(0,−2,2)B(0, -2, 2), C(−1,0,2)C(-1, 0, 2) y D(2,−1,−2)D(2, -1, -2).
a
Calcula el volumen del tetraedro de vértices AA, BB, CC y DD.1 pt
b
Determina la ecuación de la recta que pasa por DD y es perpendicular al plano determinado por los puntos AA, BB y CC.1,5 pts
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