Matemáticas CCSS · Madrid 2022

Se considera la matriz $$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ a & -1 & 1 \\ 0 & a & 1 \end{pmatrix}$$

Se considera el sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro $a \in \mathbb{R}$: $$\begin{cases} x + ay + z = a \\ ax - y - az = 0 \\ x + y + z = 1 \end{cases}$$

El dueño de una empresa que organiza fiestas infantiles quiere hacer chocolate con leche y dispone para la mezcla de $30$ litros de leche y $20$ litros de chocolate líquido. Por cada litro de chocolate debe echar como máximo $3$ litros de leche, y por cada litro de leche debe echar como máximo $1{,}6$ litros de chocolate. Además, solo dispone de botellas para envasar $45$ litros de chocolate con leche. Por cada litro de leche de la mezcla puede obtener un beneficio de $1$ € y por cada litro de chocolate un beneficio de $2$ €. Determine cuántos litros de leche y de chocolate líquido debe mezclar para obtener el máximo beneficio y calcule el beneficio que se obtiene.

Considere la función real de variable real $$f(x) = \frac{x^2 - x + 1}{x - 1}$$

La figura dada representa la gráfica de cierta función $f$. La gráfica representada tiene tangentes horizontales en $x = -1$, $x = 1$, $x = 2$ y $x = 4$.

Un escultor quiere dividir un alambre muy fino en dos trozos que se utilizarán para delimitar, respectivamente, un cuadrado y un rectángulo cuya base debe medir el doble que su altura. Posteriormente, se fabricarán ambas figuras planas con un material que cuesta $16$ céntimos de euro/$\text{cm}^2$ para el cuadrado y $10$ céntimos de euro/$\text{cm}^2$ para el rectángulo. Si el alambre inicial mide $450$ cm, determine la función de coste total de ambas figuras. Obtenga la longitud de cada trozo de alambre para que el coste total de estas piezas sea mínimo.

Sean $A$ y $B$ sucesos asociados a un experimento aleatorio tales que $P(A) = 0{,}6$, $P(A|B) = 0{,}4$ y $P(A|B^c) = 0{,}8$; siendo $B^c$ el suceso complementario de $B$.

Una carta escogida al azar es eliminada (sin ser vista) de un mazo de $52$ cartas de póker, en el que hay $13$ cartas de cada palo (diamantes, corazones, picas y tréboles). Una vez eliminada, se escoge al azar una carta, entre las que quedan en el mazo, y esta segunda carta es observada.

Una cementera rellena sacos de cemento cuyo peso en kilogramos se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media desconocida y desviación típica igual a $2$ kg.

Considere una población donde observamos una variable aleatoria $X$ con distribución normal de media $\mu$ y desviación típica $\sigma$. Sea $\overline{X}$ la media muestral de una muestra aleatoria de tamaño $10$.