Matemáticas II · Canarias 2012

Dada la función $f(x) = \frac{2x^2 + 3}{x^2 - 4}$

La temperatura $T$, en grados centígrados, que adquiere una pieza sometida a un cierto proceso de 6 horas de duración, viene dada en función del tiempo $t$ transcurrido en ese proceso por la expresión $$T = 20 + \frac{5t - 15}{t^2 - 6t + 10} \quad (\text{con } 0 \leq t \leq 6)$$ Determinar en qué momento del proceso la pieza alcanza su temperatura máxima y en qué momento alcanza su temperatura mínima. Justificar las respuestas.

Calcular el área comprendida entre la gráfica de la función $y = x^3 - 6x^2 + 8x$ y el eje OX, haciendo un dibujo aproximado y explicando.

Resolver la ecuación matricial $A \cdot X + 2C = 3B$, siendo: $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -2 & -4 \end{pmatrix}; \quad B = \begin{pmatrix} -3 & 1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}; \quad C = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -3 & 3 \end{pmatrix}$ (detallar todos los cálculos realizados)

Discutir la compatibilidad del sistema siguiente en función de los distintos valores del parámetro $m$: $$\begin{cases} 2x + y - z = -1 \\ x - 2y + 2z = m \\ 3x - y + mz = 4 \end{cases}$$

Estudiar la posición relativa de las rectas $r : \frac{x - 2}{3} = \frac{y + 3}{-2} = \frac{z}{5}$ y $s : \begin{cases} 4x - 2y + z = 0 \\ 2x - y + z = 5 \end{cases}$ (explicar el procedimiento utilizado).

Dado el plano $\pi : \begin{cases} x = -1 + 3\lambda - 2\mu \\ y = 4 + \lambda \\ z = -2 + 2\lambda - 5\mu \end{cases}$ con $(\lambda \in \mathbb{R}, \mu \in \mathbb{R})$ y dado el punto $P(0, 3, -1)$ exterior a $\pi$, obtener las ecuaciones en forma continua, en forma paramétrica y como intersección de dos planos, de la recta $r$ que pasa por $P$ y es perpendicular al plano $\pi$, explicando el procedimiento utilizado.