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la cuevadel empollón
Matemáticas IICanariasPAU 2012Extraordinaria

Matemáticas II · Canarias 2012

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Elija una de las opciones, A o B, y conteste a las cuatro preguntas que componen la opción elegida. Si mezcla preguntas de las dos opciones, el tribunal podrá anular su examen. En el desarrollo de cada respuesta, detalle y explique los procedimientos empleados en la misma. Se califica todo. La duración del examen será de 90 minutos y todas las preguntas valen 2'5 puntos.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Dada la función f(x)=2x2+3x2−4f(x) = \frac{2x^2 + 3}{x^2 - 4}
a
Obtener su dominio y los cortes de su gráfica con los ejes de coordenadas (explicar).0,5 pts
b
Hallar las asíntotas horizontales y verticales de su gráfica, justificándolas.1 pt
c
Determinar intervalos de crecimiento, intervalos de decrecimiento y extremos relativos de esta función. Justificar los resultados obtenidos.1 pt
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
La temperatura TT, en grados centígrados, que adquiere una pieza sometida a un cierto proceso de 6 horas de duración, viene dada en función del tiempo tt transcurrido en ese proceso por la expresiónT=20+5t−15t2−6t+10(con 0≤t≤6)T = 20 + \frac{5t - 15}{t^2 - 6t + 10} \quad (\text{con } 0 \leq t \leq 6)Determinar en qué momento del proceso la pieza alcanza su temperatura máxima y en qué momento alcanza su temperatura mínima. Justificar las respuestas.
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Resolver la ecuación matricial A⋅X+2C=3BA \cdot X + 2C = 3B, siendo: A=(31−2−4);B=(−312−2);C=(14−33)A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -2 & -4 \end{pmatrix}; \quad\allowbreak B = \begin{pmatrix} -3 & 1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}; \quad\allowbreak C = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -3 & 3 \end{pmatrix} (detallar todos los cálculos realizados)
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Estudiar la posición relativa de las rectas r:x−23=y+3−2=z5r : \frac{x - 2}{3} = \frac{y + 3}{-2} = \frac{z}{5} y s:{4x−2y+z=02x−y+z=5s : \begin{cases} 4x - 2y + z = 0 \\ 2x - y + z = 5 \end{cases} (explicar el procedimiento utilizado).
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
a
Dada la función f(x)=cos⁡2(3x)f(x) = \cos^2(3x), hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a su gráfica en el punto de abscisa x=π/12x = \pi / 12 (explicar).1 pt
b
Hallar los extremos relativos y los puntos de inflexión de la función g(x)=2x3−3x2−12x+5g(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5. Justificar los resultados obtenidos.1,5 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Calcular el área comprendida entre la gráfica de la función y=x3−6x2+8xy = x^3 - 6x^2 + 8x y el eje OX, haciendo un dibujo aproximado y explicando.
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Discutir la compatibilidad del sistema siguiente en función de los distintos valores del parámetro mm:{2x+y−z=−1x−2y+2z=m3x−y+mz=4\begin{cases} 2x + y - z = -1 \\ x - 2y + 2z = m \\ 3x - y + mz = 4 \end{cases}
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Dado el plano π:{x=−1+3λ−2μy=4+λz=−2+2λ−5μ\pi : \begin{cases} x = -1 + 3\lambda - 2\mu \\ y = 4 + \lambda \\ z = -2 + 2\lambda - 5\mu \end{cases} con (λ∈R,μ∈R)(\lambda \in \mathbb{R}, \mu \in \mathbb{R}) y dado el punto P(0,3,−1)P(0, 3, -1) exterior a π\pi, obtener las ecuaciones en forma continua, en forma paramétrica y como intersección de dos planos, de la recta rr que pasa por PP y es perpendicular al plano π\pi, explicando el procedimiento utilizado.
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