Matemáticas CCSSNavarraPAU 2026Ordinaria

Matemáticas CCSS · Navarra 2026

Instrucciones

Tiempo: No lo indica el examen
Qué responder: Responde a las tres primeras preguntas. En la cuarta, elige una opción (A o B) y responde a todos sus apartados.
Puntuación: La puntuación de cada apartado figura en el enunciado.

2,5 puntos

La siguiente imagen representa la región factible no acotada de un problema de programación lineal:

Región factible no acotada sombreada, con los puntos A y B y tres rectas sobre unos ejes de coordenadas.

Considere la función objetivo

z = f(x,y) = 2x + y

Utilice el método gráfico para minimizar la función objetivo en dicha región e indique el valor óptimo de la función objetivo.1 pt

1 pt

Añada la restricción

y \leq 5

y represente la nueva región factible, señalando sus vértices. Razone en qué punto se alcanza el máximo de la función objetivo e indique el valor óptimo de la función objetivo.1,5 pts

1,5 pts

Ver este ejercicio

2,5 puntos

Dada la función

f(x) = ax^2 + 5x + \dfrac{b}{x}

, responda a las siguientes cuestiones:

Calcule los valores de

a

b

para que la función tenga un extremo relativo en el punto

(1, 4)

.1,25 pts

1,25 pts

Utilizando los valores

a = 2

b = 0

, determine la ecuación de la recta tangente a la función

f(x)

en el punto de abscisa

x = 1

.1,25 pts

1,25 pts

Ver este ejercicio

2,5 puntos

Según un estudio realizado a los egresados de una universidad sobre su incorporación al mercado laboral, la mitad de los encuestados encontraron trabajo relacionado con sus estudios, el

35\%

encontraron trabajo no relacionado con sus estudios y el resto no encontraron trabajo. El

85\%

de los que encontraron trabajo relacionado con sus estudios, el

40\%

de los que encontraron trabajo no relacionado con sus estudios y el

10\%

de los que no encontraron trabajo, tenían titulación de máster. Se elige un egresado al azar.

Calcule la probabilidad de que no tenga titulación de máster.1,25 pts

1,25 pts

Sabiendo que tiene titulación de máster, calcule la probabilidad de que no encontrara trabajo.1,25 pts

1,25 pts

Ver este ejercicio

2,5 puntos

En la cuarta pregunta debe seleccionar sólo una opción (A o B) y contestar a todos sus apartados.

Un equipo de investigadores de salud pública está analizando la relación entre el tipo de dieta (Mediterránea o Vegetariana) y el nivel de actividad física (Baja, Moderada o Alta). Los datos obtenidos en una muestra representativa de

250

adultos se recogen en la siguiente tabla:

42

	Baja (B)	Moderada (M)	Alta (A)	TOTAL
Dieta Mediterránea (DM)	$42$	$68$	$45$	$155$
Dieta Vegetariana (DV)	$33$	$47$	$15$	$95$
TOTAL	$75$	$115$	$60$	$250$

Obtenga la proporción muestral de adultos que tienen una actividad física Baja.0,25 pts

0,25 pts

Calcule un intervalo de confianza al

95\%

para la proporción de adultos en la población que tienen una actividad física Baja. (Utilice

4

decimales).1,25 pts

1,25 pts

Sea la matriz de datos

F = \begin{pmatrix}42 & 68 & 45 \\ 33 & 47 & 15\end{pmatrix}

formada por las frecuencias de la tabla (sin los totales). Se estima que el gasto calórico extra diario por nivel de actividad física es de

200\,\text{kcal}

(Baja),

500\,\text{kcal}

(Moderada) y

900\,\text{kcal}

(Alta).

iii

Defina la matriz columna de gasto calórico

C

y calcule el producto

F \cdot C

, explicando qué representan los elementos de la matriz resultante en el contexto del estudio.1 pt

1 pt

Ver este ejercicio

En la cuarta pregunta debe seleccionar sólo una opción (A o B) y contestar a todos sus apartados.

El importe de los préstamos que solicitan los jóvenes a los bancos para la compra de su primera vivienda sigue una distribución normal con desviación típica

48

(en miles de euros). Se selecciona una muestra de jóvenes que solicitan un préstamo, obteniéndose los siguientes importes (en miles de euros):

160

275

300

250

280

310

180

200

223

. Calcule un intervalo de confianza al

95\%

para el importe medio de este tipo de préstamos. (Utilice

2

decimales).1,5 pts

1,5 pts

Calcule

\displaystyle\int \dfrac{7x^2}{4x^3 - 2}\,dx

.1 pt

1 pt

Ver este ejercicio

Formulario

Mostrar

Tabla de la distribución normal estándar

Z \sim N(0,1)

P(Z < k) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\displaystyle\int_{-\infty}^{k} e^{-t^2/2}\,dt

k

$k$	0	1
−3,5	0,0002	0,0002
−3,4	0,0003	0,0003
−3,3	0,0005	0,0005
−3,2	0,0007	0,0007
−3,1	0,0010	0,0009
−3,0	0,0013	0,0013
−2,9	0,0019	0,0018
−2,8	0,0026	0,0025
−2,7	0,0035	0,0034
−2,6	0,0047	0,0045
−2,5	0,0062	0,0060
−2,4	0,0082	0,0080
−2,3	0,0107	0,0104
−2,2	0,0139	0,0136
−2,1	0,0179	0,0174
−2,0	0,0228	0,0222
−1,9	0,0287	0,0281
−1,8	0,0359	0,0351
−1,7	0,0446	0,0436
−1,6	0,0548	0,0537
−1,5	0,0668	0,0655
−1,4	0,0808	0,0793
−1,3	0,0968	0,0951
−1,2	0,1151	0,1131
−1,1	0,1357	0,1335
−1,0	0,1587	0,1562
−0,9	0,1841	0,1814
−0,8	0,2119	0,2090
−0,7	0,2420	0,2389
−0,6	0,2743	0,2709
−0,5	0,3085	0,3050
−0,4	0,3446	0,3409
−0,3	0,3821	0,3783
−0,2	0,4207	0,4168
−0,1	0,4602	0,4562
−0,0	0,5000	0,4960
$k$	0	1
0,0	0,5000	0,5040
0,1	0,5398	0,5438
0,2	0,5793	0,5832
0,3	0,6179	0,6217
0,4	0,6554	0,6591
0,5	0,6915	0,6950
0,6	0,7257	0,7291
0,7	0,7580	0,7611
0,8	0,7881	0,7910
0,9	0,8159	0,8186
1,0	0,8413	0,8438
1,1	0,8643	0,8665
1,2	0,8849	0,8869
1,3	0,9032	0,9049
1,4	0,9192	0,9207
1,5	0,9332	0,9345
1,6	0,9452	0,9463
1,7	0,9554	0,9564
1,8	0,9641	0,9649
1,9	0,9713	0,9719
2,0	0,9772	0,9778
2,1	0,9821	0,9826
2,2	0,9861	0,9864
2,3	0,9893	0,9896
2,4	0,9918	0,9920
2,5	0,9938	0,9940
2,6	0,9953	0,9955
2,7	0,9965	0,9966
2,8	0,9974	0,9975
2,9	0,9981	0,9982
3,0	0,9987	0,9987
3,1	0,9990	0,9991
3,2	0,9993	0,9993
3,3	0,9995	0,9995
3,4	0,9997	0,9997
3,5	0,9998	0,9998

k

$k$	2	3
−3,5	0,0002	0,0002
−3,4	0,0003	0,0003
−3,3	0,0005	0,0004
−3,2	0,0006	0,0006
−3,1	0,0009	0,0009
−3,0	0,0013	0,0012
−2,9	0,0018	0,0017
−2,8	0,0024	0,0023
−2,7	0,0033	0,0032
−2,6	0,0044	0,0043
−2,5	0,0059	0,0057
−2,4	0,0078	0,0075
−2,3	0,0102	0,0099
−2,2	0,0132	0,0129
−2,1	0,0170	0,0166
−2,0	0,0217	0,0212
−1,9	0,0274	0,0268
−1,8	0,0344	0,0336
−1,7	0,0427	0,0418
−1,6	0,0526	0,0516
−1,5	0,0643	0,0630
−1,4	0,0778	0,0764
−1,3	0,0934	0,0918
−1,2	0,1112	0,1093
−1,1	0,1314	0,1292
−1,0	0,1539	0,1515
−0,9	0,1788	0,1762
−0,8	0,2061	0,2033
−0,7	0,2358	0,2327
−0,6	0,2676	0,2643
−0,5	0,3015	0,2981
−0,4	0,3372	0,3336
−0,3	0,3745	0,3707
−0,2	0,4129	0,4090
−0,1	0,4522	0,4483
−0,0	0,4920	0,4880
$k$	2	3
0,0	0,5080	0,5120
0,1	0,5478	0,5517
0,2	0,5871	0,5910
0,3	0,6255	0,6293
0,4	0,6628	0,6664
0,5	0,6985	0,7019
0,6	0,7324	0,7357
0,7	0,7642	0,7673
0,8	0,7939	0,7967
0,9	0,8212	0,8238
1,0	0,8461	0,8485
1,1	0,8686	0,8708
1,2	0,8888	0,8907
1,3	0,9066	0,9082
1,4	0,9222	0,9236
1,5	0,9357	0,9370
1,6	0,9474	0,9484
1,7	0,9573	0,9582
1,8	0,9656	0,9664
1,9	0,9726	0,9732
2,0	0,9783	0,9788
2,1	0,9830	0,9834
2,2	0,9868	0,9871
2,3	0,9898	0,9901
2,4	0,9922	0,9925
2,5	0,9941	0,9943
2,6	0,9956	0,9957
2,7	0,9967	0,9968
2,8	0,9976	0,9977
2,9	0,9982	0,9983
3,0	0,9987	0,9988
3,1	0,9991	0,9991
3,2	0,9994	0,9994
3,3	0,9995	0,9996
3,4	0,9997	0,9997
3,5	0,9998	0,9998

k

$k$	4	5
−3,5	0,0002	0,0002
−3,4	0,0003	0,0003
−3,3	0,0004	0,0004
−3,2	0,0006	0,0006
−3,1	0,0008	0,0008
−3,0	0,0012	0,0011
−2,9	0,0016	0,0016
−2,8	0,0023	0,0022
−2,7	0,0031	0,0030
−2,6	0,0041	0,0040
−2,5	0,0055	0,0054
−2,4	0,0073	0,0071
−2,3	0,0096	0,0094
−2,2	0,0125	0,0122
−2,1	0,0162	0,0158
−2,0	0,0207	0,0202
−1,9	0,0262	0,0256
−1,8	0,0329	0,0322
−1,7	0,0409	0,0401
−1,6	0,0505	0,0495
−1,5	0,0618	0,0606
−1,4	0,0749	0,0735
−1,3	0,0901	0,0885
−1,2	0,1075	0,1056
−1,1	0,1271	0,1251
−1,0	0,1492	0,1469
−0,9	0,1736	0,1711
−0,8	0,2005	0,1977
−0,7	0,2296	0,2266
−0,6	0,2611	0,2578
−0,5	0,2946	0,2912
−0,4	0,3300	0,3264
−0,3	0,3669	0,3632
−0,2	0,4052	0,4013
−0,1	0,4443	0,4404
−0,0	0,4840	0,4801
$k$	4	5
0,0	0,5160	0,5199
0,1	0,5557	0,5596
0,2	0,5948	0,5987
0,3	0,6331	0,6368
0,4	0,6700	0,6736
0,5	0,7054	0,7088
0,6	0,7389	0,7422
0,7	0,7704	0,7734
0,8	0,7995	0,8023
0,9	0,8264	0,8289
1,0	0,8508	0,8531
1,1	0,8729	0,8749
1,2	0,8925	0,8944
1,3	0,9099	0,9115
1,4	0,9251	0,9265
1,5	0,9382	0,9394
1,6	0,9495	0,9505
1,7	0,9591	0,9599
1,8	0,9671	0,9678
1,9	0,9738	0,9744
2,0	0,9793	0,9798
2,1	0,9838	0,9842
2,2	0,9875	0,9878
2,3	0,9904	0,9906
2,4	0,9927	0,9929
2,5	0,9945	0,9946
2,6	0,9959	0,9960
2,7	0,9969	0,9970
2,8	0,9977	0,9978
2,9	0,9984	0,9984
3,0	0,9988	0,9989
3,1	0,9992	0,9992
3,2	0,9994	0,9994
3,3	0,9996	0,9996
3,4	0,9997	0,9997
3,5	0,9998	0,9998

k

$k$	6	7
−3,5	0,0002	0,0002
−3,4	0,0003	0,0003
−3,3	0,0004	0,0004
−3,2	0,0006	0,0005
−3,1	0,0008	0,0008
−3,0	0,0011	0,0011
−2,9	0,0015	0,0015
−2,8	0,0021	0,0021
−2,7	0,0029	0,0028
−2,6	0,0039	0,0038
−2,5	0,0052	0,0051
−2,4	0,0069	0,0068
−2,3	0,0091	0,0089
−2,2	0,0119	0,0116
−2,1	0,0154	0,0150
−2,0	0,0197	0,0192
−1,9	0,0250	0,0244
−1,8	0,0314	0,0307
−1,7	0,0392	0,0384
−1,6	0,0485	0,0475
−1,5	0,0594	0,0582
−1,4	0,0721	0,0708
−1,3	0,0869	0,0853
−1,2	0,1038	0,1020
−1,1	0,1230	0,1210
−1,0	0,1446	0,1423
−0,9	0,1685	0,1660
−0,8	0,1949	0,1922
−0,7	0,2236	0,2206
−0,6	0,2546	0,2514
−0,5	0,2877	0,2843
−0,4	0,3228	0,3192
−0,3	0,3594	0,3557
−0,2	0,3974	0,3936
−0,1	0,4364	0,4325
−0,0	0,4761	0,4721
$k$	6	7
0,0	0,5239	0,5279
0,1	0,5636	0,5675
0,2	0,6026	0,6064
0,3	0,6406	0,6443
0,4	0,6772	0,6808
0,5	0,7123	0,7157
0,6	0,7454	0,7486
0,7	0,7764	0,7794
0,8	0,8051	0,8078
0,9	0,8315	0,8340
1,0	0,8554	0,8577
1,1	0,8770	0,8790
1,2	0,8962	0,8980
1,3	0,9131	0,9147
1,4	0,9279	0,9292
1,5	0,9406	0,9418
1,6	0,9515	0,9525
1,7	0,9608	0,9616
1,8	0,9686	0,9693
1,9	0,9750	0,9756
2,0	0,9803	0,9808
2,1	0,9846	0,9850
2,2	0,9881	0,9884
2,3	0,9909	0,9911
2,4	0,9931	0,9932
2,5	0,9948	0,9949
2,6	0,9961	0,9962
2,7	0,9971	0,9972
2,8	0,9979	0,9979
2,9	0,9985	0,9985
3,0	0,9989	0,9989
3,1	0,9992	0,9992
3,2	0,9994	0,9995
3,3	0,9996	0,9996
3,4	0,9997	0,9997
3,5	0,9998	0,9998

k

$k$	8	9
−3,5	0,0002	0,0002
−3,4	0,0003	0,0002
−3,3	0,0004	0,0003
−3,2	0,0005	0,0005
−3,1	0,0007	0,0007
−3,0	0,0010	0,0010
−2,9	0,0014	0,0014
−2,8	0,0020	0,0019
−2,7	0,0027	0,0026
−2,6	0,0037	0,0036
−2,5	0,0049	0,0048
−2,4	0,0066	0,0064
−2,3	0,0087	0,0084
−2,2	0,0113	0,0110
−2,1	0,0146	0,0143
−2,0	0,0188	0,0183
−1,9	0,0239	0,0233
−1,8	0,0301	0,0294
−1,7	0,0375	0,0367
−1,6	0,0465	0,0455
−1,5	0,0571	0,0559
−1,4	0,0694	0,0681
−1,3	0,0838	0,0823
−1,2	0,1003	0,0985
−1,1	0,1190	0,1170
−1,0	0,1401	0,1379
−0,9	0,1635	0,1611
−0,8	0,1894	0,1867
−0,7	0,2177	0,2148
−0,6	0,2483	0,2451
−0,5	0,2810	0,2776
−0,4	0,3156	0,3121
−0,3	0,3520	0,3483
−0,2	0,3897	0,3859
−0,1	0,4286	0,4247
−0,0	0,4681	0,4641
$k$	8	9
0,0	0,5319	0,5359
0,1	0,5714	0,5753
0,2	0,6103	0,6141
0,3	0,6480	0,6517
0,4	0,6844	0,6879
0,5	0,7190	0,7224
0,6	0,7517	0,7549
0,7	0,7823	0,7852
0,8	0,8106	0,8133
0,9	0,8365	0,8389
1,0	0,8599	0,8621
1,1	0,8810	0,8830
1,2	0,8997	0,9015
1,3	0,9162	0,9177
1,4	0,9306	0,9319
1,5	0,9429	0,9441
1,6	0,9535	0,9545
1,7	0,9625	0,9633
1,8	0,9699	0,9706
1,9	0,9761	0,9767
2,0	0,9812	0,9817
2,1	0,9854	0,9857
2,2	0,9887	0,9890
2,3	0,9913	0,9916
2,4	0,9934	0,9936
2,5	0,9951	0,9952
2,6	0,9963	0,9964
2,7	0,9973	0,9974
2,8	0,9980	0,9981
2,9	0,9986	0,9986
3,0	0,9990	0,9990
3,1	0,9993	0,9993
3,2	0,9995	0,9995
3,3	0,9996	0,9997
3,4	0,9997	0,9998
3,5	0,9998	0,9998

Instrucciones

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

Ejercicio 4

Formulario