Matemáticas II · La Rioja 2022

Dada la curva $f(x) = \frac{1}{4}x^2 + 4x + 4$

Halla el área de la región que delimita la gráfica de la función $g(x) = x \sen x$ y el eje de las abscisas en el intervalo que va de $x = 0$ al menor valor $b > 0$ tal que $g(b) = 0$.

Determina, si existe, el valor de $a$ de tal manera que:

Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvelo en los casos en que es compatible determinado e indeterminado. $$\begin{cases} x + y + az = a \\ ax + ay + z = 1 \\ x + ay + z = a \end{cases}$$

Sean las matrices $$A = \begin{pmatrix} 1 & a & 2 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & a \\ 1 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}.$$

Determina los valores de los parámetros $a$, $b$ y $c$ para los que $(x, y, z) = (1, 2, 3)$ es solución del sistema $$\begin{cases} 2ax + by + z = 3c \\ 3x - 2by - 2cz = a \\ 5ax - 2y + cz = -4b \end{cases}$$

Halla la ecuación de una recta paralela al plano $\pi \equiv x + y + z = 0$ y que contenga al punto $P(1, 0, 1)$. ¿Es única dicha recta? Razona la respuesta.

Determina los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que el plano $\pi$ contenga a la recta $r$, donde: $$\pi \equiv ax + y + z = b, \qquad r \equiv \begin{cases} x + y + z = 1 \\ -x - 2y + z = 0 \end{cases}$$

En un distrito universitario, los estudiantes se distribuyen entre las tres carreras que pueden cursarse del siguiente modo: el $20\%$ estudian Matemáticas, el $35\%$ Medicina y el $45\%$ Arquitectura. El porcentaje de alumnos que finalizan sus estudios en cada caso es del $5\%$, $12\%$ y del $18\%$. Se elige un alumno al azar. Halla la probabilidad de que:

Una variable aleatoria $X$ sigue una distribución normal de media $4$ y desviación típica $2$. Calcula el valor de $a$ para que: $$P(4 - a \leq X \leq 4 + a) = 0{,}5934$$