Saltar al contenido
la cuevadel empollón
Matemáticas IILa RiojaPAU 2022Ordinaria

Matemáticas II · La Rioja 2022

10 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. El alumno contestará a SÓLO CINCO ejercicios de entre los planteados. En caso contrario, el corrector corregirá los cinco que haya contestado primero. Todas las preguntas tienen la misma puntuación. Es necesario justificar las respuestas. Se permite el uso de calculadoras científicas siempre que no sean programables ni gráficas ni calculen integrales. Si algún alumno es sorprendido con una calculadora no autorizada; podrá ser expulsado del examen; en todo caso, se le retirará la calculadora sin que tenga derecho a que le proporcionen otra.

Ejercicio 1

1
2 puntos
Dada la curva f(x)=14x2+4x+4f(x) = \frac{1}{4}x^2 + 4x + 4
i
Halla los puntos de la curva en los que la recta tangente a ésta pase por el punto (0,0)(0,0).1 pt
ii
Da las ecuaciones de las rectas tangentes.1 pt
Ver este ejercicio

Ejercicio 2

2
2 puntos
Halla el área de la región que delimita la gráfica de la función g(x)=xsen⁡xg(x) = x \sen x y el eje de las abscisas en el intervalo que va de x=0x = 0 al menor valor b>0b > 0 tal que g(b)=0g(b) = 0.
Ver este ejercicio

Ejercicio 3

3
2 puntos
Determina, si existe, el valor de aa de tal manera que:
i
lim⁡x→+∞(9x2+ax+1−(3x−1))=2\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{9x^2 + ax + 1} - (3x - 1)) = 2.1 pt
ii
lim⁡x→∞(3x+a3x−1)x=e\lim_{x \to \infty} \left( \frac{3x + a}{3x - 1} \right)^x = e.1 pt
Ver este ejercicio

Ejercicio 4

4
2 puntos
Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real aa y resuélvelo en los casos en que es compatible determinado e indeterminado.{x+y+az=aax+ay+z=1x+ay+z=a\begin{cases} x + y + az = a \\ ax + ay + z = 1 \\ x + ay + z = a \end{cases}
Ver este ejercicio

Ejercicio 5

5
2 puntos
Sean las matricesA=(1a20−11),B=(0a1132).A = \begin{pmatrix} 1 & a & 2 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & a \\ 1 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}.
i
Determina para qué valores de aa la matriz ABAB tiene inversa.1 pt
ii
Resuelve para a=0a = 0 la ecuación matricial ABX=3IABX = 3I, siendo II la matriz identidad.1 pt
Ver este ejercicio

Ejercicio 6

6
2 puntos
Determina los valores de los parámetros aa, bb y cc para los que (x,y,z)=(1,2,3)(x, y, z) = (1, 2, 3) es solución del sistema{2ax+by+z=3c3x−2by−2cz=a5ax−2y+cz=−4b\begin{cases} 2ax + by + z = 3c \\ 3x - 2by - 2cz = a \\ 5ax - 2y + cz = -4b \end{cases}
Ver este ejercicio

Ejercicio 7

7
2 puntos
Halla la ecuación de una recta paralela al plano π≡x+y+z=0\pi \equiv x + y + z = 0 y que contenga al punto P(1,0,1)P(1, 0, 1). ¿Es única dicha recta? Razona la respuesta.
Ver este ejercicio

Ejercicio 8

8
2 puntos
Determina los valores de los parámetros aa y bb para que el plano π\pi contenga a la recta rr, donde:π≡ax+y+z=b,r≡{x+y+z=1−x−2y+z=0\pi \equiv ax + y + z = b, \qquad r \equiv \begin{cases} x + y + z = 1 \\ -x - 2y + z = 0 \end{cases}
Ver este ejercicio

Ejercicio 9

9
2 puntos
En un distrito universitario, los estudiantes se distribuyen entre las tres carreras que pueden cursarse del siguiente modo: el 20%20\% estudian Matemáticas, el 35%35\% Medicina y el 45%45\% Arquitectura. El porcentaje de alumnos que finalizan sus estudios en cada caso es del 5%5\%, 12%12\% y del 18%18\%. Se elige un alumno al azar. Halla la probabilidad de que:
i
finalice sus estudios;1 pt
ii
estudie Medicina si no finaliza sus estudios.1 pt
Ver este ejercicio

Ejercicio 10

10
2 puntos
Una variable aleatoria XX sigue una distribución normal de media 44 y desviación típica 22. Calcula el valor de aa para que:P(4−a≤X≤4+a)=0,5934P(4 - a \leq X \leq 4 + a) = 0{,}5934
Datos
  • Véase la tabla simplificada de la normal tipificada que aparece al final del examen
Ver este ejercicio