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la cuevadel empollón
Matemáticas IILa RiojaPAU 2014Ordinaria

Matemáticas II · La Rioja 2014

8 ejercicios90 min de duración

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2 puntos
Sea f(x)=1−x1−xf(x) = \frac{1 - x}{1 - \sqrt{x}}
i)
Calcula, si existe, lim⁡x→1f(x)\lim_{x \to 1} f(x)
ii)
Halla ∫f(x) dx\int f(x) \, dx.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2 puntos
Sea f(x)=1−x1−xf(x) = \frac{1 - x}{1 - \sqrt{x}}
i)
Calcula, si existe, lim⁡x→1f(x)\lim_{x \to 1} f(x).
ii)
Halla ∫f(x) dx\int f(x) \, dx.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2 puntos
i)
Determina los valores de aa que cumplen la ecuación (a111a142a)=0\begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 4 & 2 & a \end{pmatrix} = 0
ii)
Halla un punto PP en la recta {y=0z=0\begin{cases} y = 0 \\ z = 0 \end{cases} que no sea coplanario con los puntos A(2,1,4)A(2, 1, 4), B(1,2,2)B(1, 2, 2) y C(1,1,2)C(1, 1, 2).
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2 puntos
i)
Determina los valores de aa que cumplen la ecuación (a111a142a)=0\begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 4 & 2 & a \end{pmatrix} = 0
ii)
Halla un punto PP en la recta {y=0z=0\begin{cases} y = 0 \\ z = 0 \end{cases} que no sea coplanario con los puntos A(2,1,4)A(2, 1, 4), B(1,2,2)B(1, 2, 2) y C(1,1,2)C(1, 1, 2).
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
3 puntos
Sea g(x)=1−ln⁡xxg(x) = \frac{1 - \ln x}{x}.
i)
Determina el dominio de gg.
ii)
Halla sus asíntotas.
iii)
Determina los extremos relativos y estudia la monotonía de gg.
iv)
Dibuja la gráfica de gg destacando los elementos hallados anteriormente.
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
3 puntos
Sea h(x)=x4−2x3−1h(x) = x^4 - 2x^3 - 1.
i)
Enuncia el teorema de Bolzano.
ii)
Determina los extremos relativos y estudia la monotonía de hh.
iii)
Utiliza el teorema de Bolzano para probar que la ecuación h(x)=0h(x) = 0 tiene exactamente dos soluciones reales.
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
3 puntos
Consideremos los puntos A(2,6,−3)A(2, 6, -3) y B(3,3,−2)B(3, 3, -2).
i)
Halla una ecuación para la recta rr que contiene a los puntos AA y BB.
ii)
Determina una ecuación para el plano de los puntos que están a la misma distancia de AA y de BB.
iii)
Halla el punto de intersección de la recta rr con el plano x=0x = 0.
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
3 puntos
Discute el sistema de ecuaciones siguiente, según los valores del parámetro bb, y resuelve cuando el sistema sea compatible: {bx+y+z=3x+y+z=32x+y+bz=3\begin{cases} bx + y + z = 3 \\ x + y + z = 3 \\ 2x + y + bz = 3 \end{cases}
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