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la cuevadel empollón
Matemáticas IILa RiojaPAU 2014Ordinaria

Matemáticas II · La Rioja 2014

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El alumno contestará a los ejercicios de una de las dos propuestas (A o B) que se le ofrecen. Nunca deberá contestar a ejercicios de una propuesta y a ejercicios distintos de la otra. Es necesario justificar las respuestas. Se permite el uso de calculadoras científicas siempre que no sean programables ni gráficas ni calculen integrales. Si algún alumno es sorprendido con una calculadora no autorizada, podrá ser expulsado del examen; en todo caso, se le retirará la calculadora sin que tenga derecho a que le proporcionen otra. Tiempo: Una hora y media.
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Ejercicio 1

1
2 puntos
Sea f(x)=1−x1−xf(x) = \frac{1 - x}{1 - \sqrt{x}}
i
Calcula, si existe, lim⁡x→1f(x)\lim_{x \to 1} f(x)
ii
Halla ∫f(x) dx\int f(x) \, dx.
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Ejercicio 2

2
2 puntos
i
Determina los valores de aa que cumplen la ecuación(a111a142a)=0\begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 4 & 2 & a \end{pmatrix} = 0
ii
Halla un punto PP en la recta{y=0z=0\begin{cases} y = 0 \\ z = 0 \end{cases}que no sea coplanario con los puntos A(2,1,4)A(2, 1, 4), B(1,2,2)B(1, 2, 2) y C(1,1,2)C(1, 1, 2).
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Ejercicio 3

3
3 puntos
Sea g(x)=1−ln⁡xxg(x) = \frac{1 - \ln x}{x}.
i
Determina el dominio de gg.
ii
Halla sus asíntotas.
iii
Determina los extremos relativos y estudia la monotonía de gg.
iv
Dibuja la gráfica de gg destacando los elementos hallados anteriormente.
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Ejercicio 4

4
3 puntos
Consideremos los puntos A(2,6,−3)A(2, 6, -3) y B(3,3,−2)B(3, 3, -2).
i
Halla una ecuación para la recta rr que contiene a los puntos AA y BB.
ii
Determina una ecuación para el plano de los puntos que están a la misma distancia de AA y de BB.
iii
Halla el punto de intersección de la recta rr con el plano x=0x = 0.
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Ejercicio 1

1
2 puntos
Sea f(x)=1−x1−xf(x) = \frac{1 - x}{1 - \sqrt{x}}
i
Calcula, si existe, lim⁡x→1f(x)\lim_{x \to 1} f(x).
ii
Halla ∫f(x) dx\int f(x) \, dx.
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Ejercicio 2

2
2 puntos
i
Determina los valores de aa que cumplen la ecuación(a111a142a)=0\begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 4 & 2 & a \end{pmatrix} = 0
ii
Halla un punto PP en la recta{y=0z=0\begin{cases} y = 0 \\ z = 0 \end{cases}que no sea coplanario con los puntos A(2,1,4)A(2, 1, 4), B(1,2,2)B(1, 2, 2) y C(1,1,2)C(1, 1, 2).
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Ejercicio 3

3
3 puntos
Sea h(x)=x4−2x3−1h(x) = x^4 - 2x^3 - 1.
i
Enuncia el teorema de Bolzano.
ii
Determina los extremos relativos y estudia la monotonía de hh.
iii
Utiliza el teorema de Bolzano para probar que la ecuación h(x)=0h(x) = 0 tiene exactamente dos soluciones reales.
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Ejercicio 4

4
3 puntos
Discute el sistema de ecuaciones siguiente, según los valores del parámetro bb, y resuelve cuando el sistema sea compatible:{bx+y+z=3x+y+z=32x+y+bz=3\begin{cases} bx + y + z = 3 \\ x + y + z = 3 \\ 2x + y + bz = 3 \end{cases}
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