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la cuevadel empollón
Matemáticas IIMurciaPAU 2012Ordinaria

Matemáticas II · Murcia 2012

8 ejercicios90 min de duración

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
a)1,5 pts
Discuta el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro aa: {x+y+z=2x+ay+a2z=−1ax+a2y+a3z=2\begin{cases} x + y + z = 2 \\ x + ay + a^2z = -1 \\ ax + a^2y + a^3z = 2 \end{cases}
b)1 pts
Resuelva el sistema cuando sea compatible.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2,5 puntos
Se dice que una matriz cuadrada AA es ortogonal si cumple que At⋅A=IA^t \cdot A = I, donde II denota la matriz identidad y AtA^t es la traspuesta de AA. Determine para qué valores de los parámetros aa y bb la siguiente matriz es ortogonal A=(a−abaa00b−1)A = \begin{pmatrix} a & -a & b \\ a & a & 0 \\ 0 & b & -1 \end{pmatrix}
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
Considere la recta rr y el plano π\pi dados por las ecuaciones r:x+12=y−1−1=z−21yπ:x−2y−z=4r: \frac{x + 1}{2} = \frac{y - 1}{-1} = \frac{z - 2}{1} \quad \text{y} \quad \pi: x - 2y - z = 4
a)1 pts
Calcule el ángulo que forman la recta rr y el plano π\pi.
b)1,5 pts
Determine el plano que contiene a la recta rr y es perpendicular al plano π\pi.
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2,5 puntos
a)1,25 pts
Halle la ecuación implícita (o general) del siguiente plano π:{x=1+2λ−μy=−3+λz=2+3μ\pi: \begin{cases} x = 1 + 2\lambda - \mu \\ y = -3 + \lambda \\ z = 2 + 3\mu \end{cases}
b)1,25 pts
Determine la ecuación de la recta que es perpendicular al plano π\pi y pasa por el punto (−1,2,3)(-1, 2, 3).
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
Considere la función dada por f(x)={2x2+ax+bsi x≤1ln⁡x−1si x>1f(x) = \begin{cases} 2x^2 + ax + b & \text{si } x \leq 1 \\ \ln x - 1 & \text{si } x > 1 \end{cases} Determine los valores de los parámetros aa y bb sabiendo que f(x)f(x) cumple las siguientes propiedades
a)
f(x)f(x) es continua en todo R\mathbb{R};
b)
f(x)f(x) tiene un extremo relativo en el punto de abscisa x=0x = 0.
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2,5 puntos
Dada la función f(x)=x2−9x−1f(x) = \frac{\sqrt{x^2 - 9}}{x - 1}, se pide:
a)0,5 pts
Dominio de definición y cortes con los ejes.
b)0,75 pts
Estudio de las asíntotas (verticales, horizontales y oblicuas).
c)0,75 pts
Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Extremos (máximos y mínimos).
d)0,5 pts
Representación gráfica aproximada.
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
a)1,5 pts
Encuentre una primitiva de la función f(x)=11+xf(x) = \frac{1}{1 + \sqrt{x}}.
b)1 pts
Calcule el área del recinto limitado por la gráfica de la función f(x)f(x) y el eje de abscisas entre x=0x = 0 y x=9x = 9.
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos
a)1,5 pts
Encuentre una primitiva de la función f(x)=x2exf(x) = \frac{x^2}{e^x}.
b)1 pts
Calcule el área del recinto limitado por la gráfica de la función f(x)f(x) y el eje de abscisas entre x=0x = 0 y x=1x = 1.
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