Saltar al contenido
la cuevadel empollón
Matemáticas IIMadridPAU 2025Ordinaria

Matemáticas II · Madrid 2025

7 ejercicios90 min de duración

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
BLOQUE CON OPTATIVIDAD 1

Responda a una de las dos preguntas del bloque.

En el baloncesto existen canastas que valen un punto, que valen dos y que valen tres puntos. Calcule el número de lanzamientos de uno, de dos y de tres puntos que realizó un equipo en un partido sabiendo que: • El equipo anotó 80 puntos con un acierto del 80% en tiros de uno, del 50% en tiros de dos y del 40% en tiros de tres. • La tercera parte del número de lanzamientos de dos fue igual a la quinta parte del resto de lanzamientos. • El doble del número de lanzamientos de tres es menor en cinco unidades al resto de lanzamientos.
Ver este ejercicio

Ejercicio 2

2
2,5 puntos
BLOQUE OBLIGATORIO
Un muro rectangular de la biblioteca pública del barrio se va a pintar con la ayuda de unos grafiteros. La dimensión del muro es de 3 metros de alto y 12 metros de largo. Colocando la esquina inferior izquierda del muro en el origen de coordenadas, se va a utilizar la curva f(x)=cos⁡(πx9)+2f(x) = \cos\left(\frac{\pi x}{9}\right) + 2 para diferenciar dos regiones del muro que serán pintadas con dos colores distintos. Se sabe que con un bote de spray se pueden pintar 3 metros cuadrados de superficie.
Representación de la función f(x) en el muro rectangular de 12x3 metros.
Representación de la función f(x) en el muro rectangular de 12x3 metros.
a)0,75 pts
Halle el valor máximo y el valor mínimo de la función f(x)f(x) en el intervalo [0,12][0, 12]. ¿Está la curva en este intervalo [0,12][0, 12] contenida completamente en el muro?
b)1,25 pts
Halle el área que tienen que pintar de cada color.
c)0,5 pts
¿Cuántos botes de spray se tienen que comprar como mínimo para pintar toda el área bajo la curva f(x)f(x)?
Ver este ejercicio

Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
BLOQUE CON OPTATIVIDAD 1

Responda a una de las dos preguntas del bloque.

Sean la matriz A=(410230322)A = \begin{pmatrix} 4 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 0 \\ 3 & 2 & 2 \end{pmatrix} e II la matriz identidad de orden 3. Se pide:
a)1,25 pts
Calcular el polinomio P(λ)=det⁡(A−λI)P(\lambda) = \det(A - \lambda I) y hallar las raíces reales del polinomio.
b)1,25 pts
Para λ=5\lambda = 5, calcular un vector no nulo v⃗=(x,y,z)\vec{v} = (x, y, z) que satisfaga que (A−λI)v⃗=0⃗(A - \lambda I) \vec{v} = \vec{0}.
Ver este ejercicio

Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
BLOQUE CON OPTATIVIDAD 3

Responda a una de las dos preguntas siguientes.

Dados la recta r≡x−12=y0=z−21r \equiv \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{0} = \frac{z - 2}{1} y el plano π:x+2y−3z=1\pi : x + 2y - 3z = 1, se pide:
a)0,75 pts
Hallar una ecuación del plano que contiene a rr y es perpendicular a π\pi.
b)0,75 pts
Hallar una ecuación de la recta contenida en π\pi que corta perpendicularmente a rr.
c)1 pts
Calcular los puntos de la recta rr cuya distancia al plano π\pi es 14\sqrt{14}.
Ver este ejercicio

Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2,5 puntos
BLOQUE CON OPTATIVIDAD 3

Responda a una de las dos preguntas siguientes.

Sean el punto P(0,1,1)P(0, 1, 1) y el plano π:x+y=2\pi : x + y = 2. Se pide:
a)0,5 pts
Hallar la distancia del punto PP al plano π\pi.
b)1 pts
Determinar el punto QQ del plano π\pi cuya distancia a PP es igual que la distancia de PP a π\pi.
c)1 pts
Hallar el área del triángulo formado por PP y los puntos de corte del plano π\pi con los ejes coordenados.
Ver este ejercicio

Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
BLOQUE CON OPTATIVIDAD 4

Responda a una de las dos preguntas siguientes.

Sea E={2,3,5,7,11,13,17,19}E = \{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19\} un espacio muestral y PP una medida de probabilidad en EE definida por: P(7)=P(3)=14P(7) = P(3) = \frac{1}{4} y con el resto de sucesos elementales equiprobables. Se consideran los sucesos A={7,11,13,19}A = \{7, 11, 13, 19\}, B={2,5,7,13,17}B = \{2, 5, 7, 13, 17\} y C={3,5,7,11,13}C = \{3, 5, 7, 11, 13\}. Se pide calcular:
a)1,25 pts
P((A−C)‾∩B)P(\overline{(A - C)} \cap B)
b)1,25 pts
P((A∩B)/C‾)P((A \cap B) / \overline{C})
Ver este ejercicio

Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos
BLOQUE CON OPTATIVIDAD 4

Responda a una de las dos preguntas siguientes.

Entre los ciudadanos de 14 años o más de cierto país, el 20% de la población tiene entre 14 y 24 años, el 50% entre 25 y 64 y el resto más de 64 años. Según datos recogidos por el ministerio de cultura de ese país, el 74% de sus ciudadanos de entre 14 y 24 es lector habitual, mientras que el porcentaje decrece hasta el 65,8% entre los de 25 a 64 y al 53,7% entre los mayores de 64. Elegido un ciudadano al azar del país en cuestión de 14 años o más, se pide:
a)1,25 pts
Calcular la probabilidad de que sea lector habitual.
b)1,25 pts
Si no es lector habitual, calcular la probabilidad de que tenga entre 25 y 64 años.
Ver este ejercicio