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la cuevadel empollón
Matemáticas IIMadridPAU 2025Ordinaria

Matemáticas II · Madrid 2025

7 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. Después de leer atentamente el examen, responda razonadamente a una pregunta en cada uno de los cuatro bloques, tres de ellos con optatividad y uno sin optatividad. Todas las respuestas deben estar debidamente justificadas.

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
Bloque con optatividad 1

Responda a una de las dos preguntas del bloque.

En el baloncesto existen canastas que valen un punto, que valen dos y que valen tres puntos. Calcule el número de lanzamientos de uno, de dos y de tres puntos que realizó un equipo en un partido sabiendo que: • El equipo anotó 80 puntos con un acierto del 80% en tiros de uno, del 50% en tiros de dos y del 40% en tiros de tres. • La tercera parte del número de lanzamientos de dos fue igual a la quinta parte del resto de lanzamientos. • El doble del número de lanzamientos de tres es menor en cinco unidades al resto de lanzamientos.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Bloque obligatorio
Un muro rectangular de la biblioteca pública del barrio se va a pintar con la ayuda de unos grafiteros. La dimensión del muro es de 3 metros de alto y 12 metros de largo. Colocando la esquina inferior izquierda del muro en el origen de coordenadas, se va a utilizar la curva f(x)=cos⁡(πx9)+2f(x) = \cos\left(\frac{\pi x}{9}\right) + 2 para diferenciar dos regiones del muro que serán pintadas con dos colores distintos. Se sabe que con un bote de spray se pueden pintar 3 metros cuadrados de superficie.
Representación de la función f(x) en el muro rectangular de 12x3 metros.
a
Halle el valor máximo y el valor mínimo de la función f(x)f(x) en el intervalo [0,12][0, 12]. ¿Está la curva en este intervalo [0,12][0, 12] contenida completamente en el muro?0,75 pts
b
Halle el área que tienen que pintar de cada color.1,25 pts
c
¿Cuántos botes de spray se tienen que comprar como mínimo para pintar toda el área bajo la curva f(x)f(x)?0,5 pts
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
Bloque con optatividad 1

Responda a una de las dos preguntas del bloque.

Sean la matriz A=(410230322)A = \begin{pmatrix} 4 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 0 \\ 3 & 2 & 2 \end{pmatrix} e II la matriz identidad de orden 3. Se pide:
a
Calcular el polinomio P(λ)=det⁡(A−λI)P(\lambda) = \det(A - \lambda I) y hallar las raíces reales del polinomio.1,25 pts
b
Para λ=5\lambda = 5, calcular un vector no nulo v⃗=(x,y,z)\vec{v} = (x, y, z) que satisfaga que (A−λI)v⃗=0⃗(A - \lambda I) \vec{v} = \vec{0}.1,25 pts
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
Bloque con optatividad 3

Responda a una de las dos preguntas siguientes.

Dados la recta r≡x−12=y0=z−21r \equiv \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{0} = \frac{z - 2}{1} y el plano π:x+2y−3z=1\pi : x + 2y - 3z = 1, se pide:
a
Hallar una ecuación del plano que contiene a rr y es perpendicular a π\pi.0,75 pts
b
Hallar una ecuación de la recta contenida en π\pi que corta perpendicularmente a rr.0,75 pts
c
Calcular los puntos de la recta rr cuya distancia al plano π\pi es 14\sqrt{14}.1 pt
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2,5 puntos
Bloque con optatividad 3

Responda a una de las dos preguntas siguientes.

Sean el punto P(0,1,1)P(0, 1, 1) y el plano π:x+y=2\pi : x + y = 2. Se pide:
a
Hallar la distancia del punto PP al plano π\pi.0,5 pts
b
Determinar el punto QQ del plano π\pi cuya distancia a PP es igual que la distancia de PP a π\pi.1 pt
c
Hallar el área del triángulo formado por PP y los puntos de corte del plano π\pi con los ejes coordenados.1 pt
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
Bloque con optatividad 4

Responda a una de las dos preguntas siguientes.

Sea E={2,3,5,7,11,13,17,19}E = \{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19\} un espacio muestral y PP una medida de probabilidad en EE definida por: P(7)=P(3)=14P(7) = P(3) = \frac{1}{4} y con el resto de sucesos elementales equiprobables. Se consideran los sucesos A={7,11,13,19}A = \{7, 11, 13, 19\}, B={2,5,7,13,17}B = \{2, 5, 7, 13, 17\} y C={3,5,7,11,13}C = \{3, 5, 7, 11, 13\}. Se pide calcular:
a
P((A−C)‾∩B)P(\overline{(A - C)} \cap B)1,25 pts
b
P((A∩B)/C‾)P((A \cap B) / \overline{C})1,25 pts
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos
Bloque con optatividad 4

Responda a una de las dos preguntas siguientes.

Entre los ciudadanos de 14 años o más de cierto país, el 20% de la población tiene entre 14 y 24 años, el 50% entre 25 y 64 y el resto más de 64 años. Según datos recogidos por el ministerio de cultura de ese país, el 74% de sus ciudadanos de entre 14 y 24 es lector habitual, mientras que el porcentaje decrece hasta el 65,8% entre los de 25 a 64 y al 53,7% entre los mayores de 64. Elegido un ciudadano al azar del país en cuestión de 14 años o más, se pide:
a
Calcular la probabilidad de que sea lector habitual.1,25 pts
b
Si no es lector habitual, calcular la probabilidad de que tenga entre 25 y 64 años.1,25 pts
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