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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSNavarraPAU 2022Extraordinaria

Matemáticas CCSS · Navarra 2022

6 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. Elija tres de los seis ejercicios siguientes.

Ejercicio 1

1
10 puntos
Se considera la siguiente matriz dependiente del parámetro real kk:A=(−1203−1kk1k)A = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & k \\ k & 1 & k \end{pmatrix}
i
Determine los valores de kk para los cuales AA no tiene inversa.2 pts
ii
Para k=1k = 1, calcule la matriz inversa de AA.5 pts
iii
Para k=0k = 0, calcule (A−2At)2(A - 2A^t)^2.3 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Una empresa fabrica dos productos P1 y P2, con un coste de fabricación de 2020 y 1515 euros/kg, respectivamente. Para ello utiliza tres recursos (R1, R2 y R3). La siguiente tabla muestra la cantidad necesaria de cada recurso para obtener un kg de cada producto y la disponibilidad semanal de los recursos. Determine cuántos kg de cada producto deberá fabricar semanalmente esta empresa si desea minimizar el coste de producción, garantizando un nivel de fabricación total de al menos 3030 kg.
P1P2Disponibilidad semanal
R163180
R245200
R311.570
i
Plantee el problema.4 pts
ii
Resuélvalo gráficamente.4 pts
iii
Analice gráficamente qué ocurriría si la fabricación del producto P2 se encarece y su coste pasa a ser 2020 euros/kg.2 pts
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Ejercicio 3

3
10 puntos
i
Calcule la derivada de la siguiente función: y=3(2x−3)2+ln⁡(2x4−3)y = \frac{3}{(2x - 3)^2} + \ln(2x^4 - 3)3 pts
ii
Calcule la siguiente integral: ∫(sen⁡2x+ex/5)dx\int (\sen 2x + e^{x/5}) dx3 pts
iii
Calcule la siguiente integral: ∫12x2x2+1dx\int_{1}^{2} \frac{x}{2x^2 + 1} dx4 pts
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Ejercicio 4

4
10 puntos
Dada la función f(x)=x3+ax2+bx+1f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 1, responda a las siguientes cuestiones:
i
Determine el valor de los parámetros aa y bb de forma que la función tenga un extremo relativo en el punto de abscisa x=1x = 1 y la recta tangente a la función f(x)f(x) en el punto de abscisa x=0x = 0 tenga pendiente m=−2m = -2.4 pts
ii
Tomando los valores a=−2a = -2 y b=−4b = -4, determine los extremos relativos, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión de la función f(x)f(x).6 pts
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Ejercicio 5

5
10 puntos
Se considera que el 4%4\% de los deportistas federados consumen algún tipo de sustancia no permitida para mejorar su rendimiento. Se ha diseñado una nueva prueba de detección con dos posibles resultados: positivo y negativo. La prueba identifica correctamente el consumo de estas sustancias el 92%92\% de los casos. Sin embargo, si un deportista no consume estas sustancias, la prueba da positivo en el 10%10\% de los casos. Se selecciona un deportista al azar. Calcule (use 4 decimales):
i
La probabilidad de que obtenga un resultado positivo en la prueba.3 pts
ii
La probabilidad de que sea consumidor y la prueba tenga resultado negativo.3 pts
iii
La probabilidad de que no sea consumidor sabiendo que la prueba ha dado resultado negativo.4 pts
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Ejercicio 6

6
10 puntos
En una encuesta realizada a 300300 jóvenes navarros entre los 1818 y los 3030 años, 180180 contestaron que utilizaban habitualmente una determinada red social.
i
Calcule un intervalo de confianza para la proporción de jóvenes que no utilizan dicha red social, con un nivel de confianza del 96%96\%.5 pts
ii
Con los datos de esa muestra se ha calculado el siguiente intervalo de confianza para la proporción de jóvenes que usan habitualmente la red social: [0,544563,0,655437][0{,}544563, 0{,}655437]. Determine el nivel de confianza de este intervalo, justificando su respuesta.5 pts
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