Matemáticas II · Navarra 2016

Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvelo en los casos en que es compatible: $$\begin{cases} 2y + z = 1 \\ (a - 1)x + (a + 2)y + z = 0 \\ (a^2 - a)x - ay = a + 2 \end{cases}$$

Encuentra todas las matrices $B$ que cumplen $AB = BA$, siendo $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$$

Dados los puntos $P \equiv (1, -2, 3)$ y $Q \equiv (3, 0, -1)$, encuentra el punto $R$ que equidista de $P$ y $Q$ y está en la recta $$r \equiv \frac{x - 4}{1} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z - 3}{1}$$

Encuentra la ecuación continua de la recta $r$ que pasa por el punto $P \equiv (-3, -2, 4)$ y corta a las rectas $$r_1 \equiv \begin{cases} 2x + y - z = 0 \\ 3x - y + z - 5 = 0 \end{cases} \quad \text{y} \quad r_2 \equiv \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{0} = \frac{z + 3}{2}$$

Calcula las siguientes integrales indefinidas:

Demuestra que existe $\alpha \in (-1, 1)$ tal que $f'(\alpha) = \frac{1}{2}$, siendo $$f(x) = \frac{\sqrt[4]{2^{x^2 + 3x + 3} + 3 \cdot 2^{x + 1} + 4}}{\sqrt{x^4 + x^2 + 1}}$$

Demuestra que existe $\alpha \in (1, \sqrt{2})$ tal que $f'(\alpha) = 1$, siendo $$f(x) = \ln \left(\operatorname{sen} \left(\frac{\pi}{4} x^2\right)\right)$$

Dadas las funciones $f(x) = x^3 - x$ y $g(x) = 2x^3 - 2x$, encuentra los tres puntos en que se cortan. Calcula el área de la región del plano encerrada entre ambas curvas.