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la cuevadel empollón
Matemáticas IINavarraPAU 2016Extraordinaria

Matemáticas II · Navarra 2016

4 ejercicios

Instrucciones

Realiza una de las dos opciones propuestas (A o B)
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Ejercicio 1

1
3 puntos
Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real aa y resuélvelo en los casos en que es compatible:{2y+z=1(a−1)x+(a+2)y+z=0(a2−a)x−ay=a+2\begin{cases} 2y + z = 1 \\ (a - 1)x + (a + 2)y + z = 0 \\ (a^2 - a)x - ay = a + 2 \end{cases}
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Dados los puntos P≡(1,−2,3)P \equiv (1, -2, 3) y Q≡(3,0,−1)Q \equiv (3, 0, -1), encuentra el punto RR que equidista de PP y QQ y está en la rectar≡x−41=y+13=z−31r \equiv \frac{x - 4}{1} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z - 3}{1}
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Calcula las siguientes integrales indefinidas:
a
∫x3−2x+3dx\int \frac{x^3 - 2}{x + 3} dx1 pt
b
∫2x3−xdx\int \frac{2}{x^3 - x} dx1 pt
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Ejercicio 4

4
3 puntos
Demuestra que existe α∈(1,2)\alpha \in (1, \sqrt{2}) tal que f′(α)=1f'(\alpha) = 1, siendof(x)=ln⁡(sen⁡(π4x2))f(x) = \ln \left(\operatorname{sen} \left(\frac{\pi}{4} x^2\right)\right)
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Ejercicio 1

1
2 puntos
Encuentra todas las matrices BB que cumplen AB=BAAB = BA, siendoA=(1112)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}
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Ejercicio 2

2
3 puntos
Encuentra la ecuación continua de la recta rr que pasa por el punto P≡(−3,−2,4)P \equiv (-3, -2, 4) y corta a las rectasr1≡{2x+y−z=03x−y+z−5=0yr2≡x−11=y−10=z+32r_1 \equiv \begin{cases} 2x + y - z = 0 \\ 3x - y + z - 5 = 0 \end{cases} \quad \text{y} \quad r_2 \equiv \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{0} = \frac{z + 3}{2}
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Demuestra que existe α∈(−1,1)\alpha \in (-1, 1) tal que f′(α)=12f'(\alpha) = \frac{1}{2}, siendof(x)=2x2+3x+3+3⋅2x+1+44x4+x2+1f(x) = \frac{\sqrt[4]{2^{x^2 + 3x + 3} + 3 \cdot 2^{x + 1} + 4}}{\sqrt{x^4 + x^2 + 1}}
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Ejercicio 4

4
3 puntos
Dadas las funciones f(x)=x3−xf(x) = x^3 - x y g(x)=2x3−2xg(x) = 2x^3 - 2x, encuentra los tres puntos en que se cortan. Calcula el área de la región del plano encerrada entre ambas curvas.
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