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la cuevadel empollón
Matemáticas IICastilla-La ManchaPAU 2011Ordinaria

Matemáticas II · Castilla-La Mancha 2011

4 ejercicios

Instrucciones

El alumno deberá contestar a una de las dos opciones propuestas A o B. Los ejercicios deben redactarse con claridad, detalladamente y razonando las respuestas. Puedes utilizar cualquier tipo de calculadora. Cada ejercicio completo puntúa 2,5 puntos.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Dada la función f(x)=4x2+3x+42xf(x) = \frac{4x^2 + 3x + 4}{2x}, se pide:
a
Calcula las asíntotas verticales y oblicuas de f(x)f(x).1,25 pts
b
Coordenadas de los máximos y mínimos relativos de f(x)f(x).1,25 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Calcula las siguientes integrales:
a
∫(cos⁡(2x)+sen⁡xcos⁡x) dx\int (\cos(2x) + \sen x \cos x) \, dx.1,25 pts
b
∫x3−1x+2 dx\int \frac{x^3 - 1}{x + 2} \, dx.1,25 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Dadas las matrices A=(45−3−4)A = \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ -3 & -4 \end{pmatrix} y B=(0110)B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}:
a
Resuelve el sistema de ecuaciones matriciales:{2X+3Y=AX+Y=B\begin{cases} 2X + 3Y = A \\ X + Y = B \end{cases}1,25 pts
b
Encuentra una fórmula general para BnB^n, donde n∈Nn \in \mathbb{N}. (Indicación: Calcula las primeras potencias de la matriz BB)1,25 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Consideremos el plano π≡x−z=0\pi \equiv x - z = 0 y la recta r≡{x=1+aty=1−tz=2t,t∈Rr \equiv \begin{cases} x = 1 + at \\ y = 1 - t \\ z = 2t \end{cases}, t \in \mathbb{R}.
a
Determina el parámetro a∈Ra \in \mathbb{R} para que la recta rr y el plano π\pi sean paralelos.1,25 pts
b
Para el valor de aa determinado, obtén las ecuaciones paramétricas de una recta r′r' paralela al plano π\pi y que corte perpendicularmente a rr en el punto P(1,1,0)P(1, 1, 0).1,25 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
En cierto experimento la cantidad de agua en estado líquido C(t)C(t), medida en litros, está determinada en función del tiempo tt, medido en horas, por la expresión:C(t)=23+10t+10t+240t3,t∈[1,10]C(t) = \frac{2}{3} + 10t + \frac{10}{t} + \frac{240}{t^3}, \quad t \in [1, 10]Halla cuál es la cantidad mínima de agua en estado líquido y en qué instante de tiempo se obtiene, en el intervalo comprendido entre t=1t = 1 hora y t=10t = 10 horas.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Dadas las funciones f(x)=1xf(x) = \frac{1}{x} y g(x)=1x2g(x) = \frac{1}{x^2}:
a
Representa gráficamente la región del primer cuadrante limitada por las gráficas de las funciones f(x)f(x) y g(x)g(x), y la recta x=2x = 2.0,5 pts
b
Calcula el área de dicha región.2 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Dado el sistema de ecuaciones:{λx+2y−z=λ3x−y−z=15x+y−2z=3\begin{cases} \lambda x + 2y - z = \lambda \\ 3x - y - z = 1 \\ 5x + y - 2z = 3 \end{cases}
a
Clasifica el sistema en función del parámetro λ∈R\lambda \in \mathbb{R}.1,5 pts
b
Resuélvelo, si es posible, para λ=2\lambda = 2.1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Dados los puntos de coordenadas A(0,1,0)A(0, 1, 0), B(1,2,3)B(1, 2, 3), C(0,2,1)C(0, 2, 1) y D(k,1,1)D(k, 1, 1), donde k∈Rk \in \mathbb{R}:
a
Determina el área del triángulo de vértices AA, BB y CC.1 pt
b
¿Para qué valores del parámetro kk el tetraedro cuyos vértices son AA, BB, CC y DD tiene un volumen de 55 unidades cúbicas?1,5 pts
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