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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAndalucíaPAU 2020Variante 4

Matemáticas II · Andalucía 2020

8 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Este examen consta de 8 ejercicios. c) Cada ejercicio tiene un valor máximo de 2.5 puntos. d) Se realizarán únicamente cuatro ejercicios de los ocho ejercicios propuestos. Si se realizan más de cuatro ejercicios, solo se evaluarán los primeros cuatro ejercicios que aparezcan físicamente en el papel de examen. e) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, ni gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados. f) En la puntuación máxima de cada ejercicio están contemplados 0.25 puntos para valorar la expresión correcta de los procesos y métodos utilizados.

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Considera la función f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} dada por f(x)=ex(x2−5x+6)f(x) = e^x(x^2 - 5x + 6). Determina los intervalos de concavidad y de convexidad de ff y los puntos de inflexión de su gráfica.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Calcula ∫0πxsen⁡2(x)dx\int_{0}^{\pi} x \sen^2(x) dx.
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Considera el sistema de ecuaciones dado por AX=BAX = B siendoA=(1−21m4−20m+2−3),X=(xyz) y B=(22m1)A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ m & 4 & -2 \\ 0 & m + 2 & -3 \end{pmatrix}, X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \text{ y } B = \begin{pmatrix} 2 \\ 2m \\ 1 \end{pmatrix}
a
Discute el sistema según los valores de mm.1,5 pts
b
Para m=−2m = -2, ¿existe alguna solución con z=0z = 0? En caso afirmativo, calcúlala. En caso negativo, justifica la respuesta.1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Considera el plano π≡x−y+az=0\pi \equiv x - y + az = 0 y la recta r≡{4x−3y+4z=13x−2y+z=0r \equiv \begin{cases} 4x - 3y + 4z = 1 \\ 3x - 2y + z = 0 \end{cases}
a
Halla aa sabiendo que π\pi es paralelo a rr.1,5 pts
b
Determina el plano perpendicular a rr que pasa por el punto P(1,2,3)P(1, 2, 3).1 pt
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Ejercicio 5

5
2,5 puntos
Sea la función derivable f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} definida porf(x)={e2ax−4bsi x<11−xln⁡xsi x≥1f(x) = \begin{cases} e^{2ax - 4b} & \text{si } x < 1 \\ 1 - x \ln x & \text{si } x \geq 1 \end{cases}(ln⁡\ln denota la función logaritmo neperiano).
a
Determina los valores de aa y bb.1,75 pts
b
Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de ff en el punto de abscisa x=2x = 2.0,75 pts
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Ejercicio 6

6
2,5 puntos
Considera las funciones f,g:R→Rf, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} definidas por f(x)=∣x∣f(x) = |x| y g(x)=x2−2g(x) = x^2 - 2.
a
Calcula los puntos de corte de las gráficas de ff y gg. Esboza el recinto que determinan.1 pt
b
Determina el área del recinto anterior.1,5 pts
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Ejercicio 7

7
2,5 puntos
Considera A=(123002011)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} y X=(xyz)X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}
a
Halla los valores de λ\lambda tales que ∣A−λI∣=0|A - \lambda I| = 0, donde II es la matriz identidad de orden 3.1,25 pts
b
Para λ=1\lambda = 1, resuelve el sistema dado por (A−λI)X=0(A - \lambda I)X = 0. ¿Existe alguna solución tal que z=1z = 1? En caso afirmativo, calcúlala. En caso negativo, justifica la respuesta.1,25 pts
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Ejercicio 8

8
2,5 puntos
Considera el plano π≡x−y+z=2\pi \equiv x - y + z = 2 y la recta r≡x2=y+11=z+2−1r \equiv \frac{x}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z + 2}{-1}.
a
Calcula la distancia entre rr y π\pi.1 pt
b
Halla la ecuación general del plano perpendicular a π\pi que contiene a rr.1,5 pts
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