Matemáticas II · Castilla-La Mancha 2014

Calcula los intervalos de concavidad y convexidad de la función $$f(x) = \frac{x - 1}{2x + 2}$$ Estudia si tiene puntos de inflexión.

¿En qué puntos de la gráfica de $f(x)$ la recta tangente es paralela a la recta $y = x - 2$?

Estudia sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como sus extremos relativos.

Estudia si tiene asíntota oblicua cuando $x \rightarrow +\infty$.

Esboza la región encerrada entre las gráficas de las funciones $f(x) = \sen x$, $g(x) = -\sen x$, y las rectas $x = \pi / 2$ y $x = 3\pi / 2$.

Calcula el área de la región anterior.

$$\int \frac{e^x}{e^x - e^{-x}} dx$$ Nota: En esta integral puede ayudarte hacer el cambio de variable $t = e^x$.

Discute, en función del parámetro $m \in \mathbb{R}$, el rango de la matriz $$A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & - 1 \\ m + 1 & 3 & m - 1 \\ m - 1 & m + 3 & - 1 \end{pmatrix}$$

¿Para qué valores del parámetro $m \in \mathbb{R}$ existe la matriz inversa de $A$?

Estudia la posición relativa de las rectas $$r \equiv x = - y = z \quad \text{y} \quad s \equiv x = y = z - 2$$

Calcula la distancia entre $r$ y $s$.

Estudia, en función del valor del parámetro $a \in \mathbb{R}$, la posición relativa de los planos $$\pi_1 \equiv x + y - z = 3$$ $$\pi_2 \equiv x - y + az = - 1$$ $$\pi_3 \equiv ax + y - z = 5$$

Calcula, en función del parámetro $a \in \mathbb{R}$, la distancia entre los planos $\pi_1$ y $\pi_3$.