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la cuevadel empollón
Matemáticas IICastilla-La ManchaPAU 2014Extraordinaria

Matemáticas II · Castilla-La Mancha 2014

4 ejercicios

Instrucciones

El alumno deberá contestar a una de las dos opciones propuestas A o B. Los ejercicios deben redactarse con claridad, detalladamente y razonando las respuestas. Puedes utilizar cualquier tipo de calculadora. Cada ejercicio completo puntúa 2,5 puntos.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
a
Calcula los intervalos de concavidad y convexidad de la función f(x)=x−12x+2f(x) = \frac{x - 1}{2x + 2} Estudia si tiene puntos de inflexión.1,5 pts
b
¿En qué puntos de la gráfica de f(x)f(x) la recta tangente es paralela a la recta y=x−2y = x - 2?1 pt
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
a
Esboza la región encerrada entre las gráficas de las funciones f(x)=sen⁡xf(x) = \sen x, g(x)=−sen⁡xg(x) = -\sen x, y las rectas x=π/2x = \pi / 2 y x=3π/2x = 3\pi / 2.0,5 pts
b
Calcula el área de la región anterior.2 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
a
Discute, en función del parámetro m∈Rm \in \mathbb{R}, el rango de la matriz A=(13−1m+13m−1m−1m+3−1)A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & - 1 \\ m + 1 & 3 & m - 1 \\ m - 1 & m + 3 & - 1 \end{pmatrix}2 pts
b
¿Para qué valores del parámetro m∈Rm \in \mathbb{R} existe la matriz inversa de AA?0,5 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
a
Estudia la posición relativa de las rectas r≡x=−y=zys≡x=y=z−2r \equiv x = - y = z \quad \text{y} \quad s \equiv x = y = z - 21,25 pts
b
Calcula la distancia entre rr y ss.1,25 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Para la función f(x)=x2+x+1f(x) = \sqrt{x^2 + x + 1}
a
Estudia sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como sus extremos relativos.1,5 pts
b
Estudia si tiene asíntota oblicua cuando x→+∞x \rightarrow +\infty.1 pt
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Calcula las integrales
a
∫exex−e−xdx\int \frac{e^x}{e^x - e^{-x}} dx Nota: En esta integral puede ayudarte hacer el cambio de variable t=ext = e^x.1,25 pts
b
∫24+x2dx\int \frac{2}{4 + x^2} dx1,25 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Encuentra dos matrices A,BA, B cuadradas de orden 2 que sean solución del sistema matricial {2A+B=C2A−B=C−1\begin{cases} 2A + B = C^2 \\ A - B = C^{-1} \end{cases} siendo C=(1325)C = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
a
Estudia, en función del valor del parámetro a∈Ra \in \mathbb{R}, la posición relativa de los planos π1≡x+y−z=3\pi_1 \equiv x + y - z = 3 π2≡x−y+az=−1\pi_2 \equiv x - y + az = - 1 π3≡ax+y−z=5\pi_3 \equiv ax + y - z = 51,5 pts
b
Calcula, en función del parámetro a∈Ra \in \mathbb{R}, la distancia entre los planos π1\pi_1 y π3\pi_3.1 pt
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