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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSCastilla y LeónPAU 2014Ordinaria

Matemáticas CCSS · Castilla y León 2014

8 ejercicios

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
3 puntos
Se considera el sistema de ecuaciones: {x−2y+z=−1x+y+3z=45x−y+az=10\begin{cases} x - 2y + z = -1 \\ x + y + 3z = 4 \\ 5x - y + az = 10 \end{cases}
a)
Clasifica el sistema en función de sus posibles soluciones para los distintos valores del parámetro aa.
b)
Resuelve el sistema para a=3a = 3.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
3 puntos
En un taller textil se confeccionan 2 tipos de prendas: trajes y abrigos. Los trajes requieren 2 metros de lana y 1,251{,}25 metros de algodón y los abrigos requieren 1,51{,}5 metros de lana y 2,52{,}5 metros de algodón. Se disponen semanalmente de 300 metros de lana y de 350 metros de algodón, y esta semana deben fabricarse al menos 20 abrigos. Empleando técnicas de programación lineal, determina cuántos trajes y abrigos hay que hacer esta semana si se desea maximizar el beneficio obtenido, sabiendo que se ganan 250 euros por cada traje y 350 euros por cada abrigo. ¿A cuánto asciende dicho beneficio?
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
3 puntos
Los beneficios en miles de euros obtenidos en un gimnasio inaugurado hace 5 años vienen dados por la función f(x)=2x3−15x2+24x+26f(x) = 2x^3 - 15x^2 + 24x + 26, donde x∈[0,5]x \in [0, 5] es el tiempo, medido en años, que lleva funcionando el gimnasio desde su apertura.
a)
¿En qué momento se alcanza el máximo beneficio y cuánto vale ese beneficio máximo?
b)
El cuarto año de funcionamiento se produce una renovación general de las instalaciones del gimnasio. Explica razonadamente, en términos de aumento del beneficio, si dicha renovación tuvo éxito.
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
3 puntos
Representa gráficamente la función y=−2x2+ax−by = -2x^2 + ax - b sabiendo que alcanza su máximo en el punto (2,2)(2, 2). Calcula la ecuación de la recta tangente en el punto máximo.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
3 puntos
Según cierto estudio, el tiempo, medido en horas, que un alumno de Bachillerato estudia en la biblioteca semanalmente sigue una distribución normal con media μ\mu y desviación típica 2,52{,}5. Al tomar una muestra aleatoria de 100 estudiantes, se obtuvo una media muestral de 6,56{,}5 horas.
a)
Suponiendo que la media poblacional es μ=3,6\mu = 3{,}6 horas, ¿es compatible el resultado muestral con ese valor poblacional, considerando un nivel de confianza del 95%?
b)
Para el mismo nivel de confianza y suponiendo μ\mu desconocida, determina el tamaño muestral adecuado para que el error máximo cometido en su estimación sea de 0,10{,}1 horas.
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
3 puntos
Una fábrica de piezas para aviones está organizada en tres secciones. La sección A fabrica el 30% de las piezas, la sección B el 35%, mientras que el resto se fabrican en la sección C. La probabilidad de encontrar una pieza defectuosa es del 0,010{,}01, 0,0150{,}015 y 0,0090{,}009 según se considere la sección A, B o C, respectivamente.
a)
Calcula la probabilidad de que una pieza elegida al azar salga defectuosa de dicha fábrica.
b)
Si elegida una pieza al azar es defectuosa, ¿qué probabilidad hay de que sea de la sección B?
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
1 punto
Sean AA y BB dos sucesos independientes, tal que P(A)=0,2P(A) = 0{,}2 y P(A∩B)=0,16P(A \cap B) = 0{,}16. Halla la probabilidad de A‾∩B‾\overline{A} \cap \overline{B}.
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
1 punto
Se elige al azar un número de 4 cifras distintas escrito con las cifras 7, 2, 3 y 8. Calcula la probabilidad de que dicho número sea mayor que 7500.
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