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la cuevadel empollón
Matemáticas IIBalearesPAU 2016Ordinaria

Matemáticas II · Baleares 2016

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Conteste de manera clara y razonada una de las dos opciones propuestas. Se dispone de 90 minutos. Cada cuestión se puntúa sobre 10 puntos. La calificación final se obtiene de dividir el total entre 4. Se valorarán la corrección y la claridad en el lenguaje (matemático y no matemático) empleado por el alumno. Se valorarán negativamente los errores de cálculo. Puede utilizar calculadora de cualquier tipo, científica, gráfica o programable, pero no se autorizará el uso de las que lleven información almacenada o puedan transmitirla.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
10 puntos
Discuta para qué valores de mm el sistema siguiente es compatible:
a
{x+(m−2)y+2mz=13x−y−2z=2x+z=3\begin{cases} x + (m - 2)y + 2mz = 1 \\ 3x - y - 2z = 2 \\ x + z = 3 \end{cases}7 pts
b
Resuélvalo en el caso en que m=1m = 1.3 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Determine mm para que la recta x−10=y+11=z−31\frac{x - 1}{0} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 3}{1} y el plano π:x+2y+m⋅z=6\pi : x + 2y + m \cdot z = 6 formen un ángulo de 45 grados y calcule el punto de intersección entre la recta y el plano.
a
Determine mm para que la recta y el plano formen un ángulo de 45 grados.6 pts
b
Calcule el punto de intersección entre la recta y el plano.4 pts
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Considere la función f(x)=2⋅e−(x−1)+4xf(x) = 2 \cdot e^{-(x - 1)} + 4x.
a
Calcule sus máximos y mínimos relativos.4 pts
b
Dé los intervalos de crecimiento y decrecimiento.3 pts
c
Demuestre que f(x)f(x) es cóncava para todo valor xx. Entendemos que una función es cóncava en un punto xx si f′′(x)>0f''(x) > 0.3 pts
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Ejercicio 4

4
10 puntos
Calcule la siguiente integral indefinida:∫(x2+1)⋅ln⁡x dx\int (x^2 + 1) \cdot \ln x \, dx
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Ejercicio 1

1
10 puntos
Sea AA la matriz siguiente:A=(a001a001a)A = \begin{pmatrix} a & 0 & 0 \\ 1 & a & 0 \\ 0 & 1 & a \end{pmatrix}donde aa es un valor real.
a
Calcule A2A^2, A3A^3 y A4A^4.4 pts
b
Dé una fórmula general para la expresión de AnA^n.6 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Determine mm para que la recta x−1=y+1m=z+33\frac{x}{-1} = \frac{y + 1}{m} = \frac{z + 3}{3} sea paralela al plano x+y−z=5x + y - z = 5 y calcule la distancia entre ellos.
a
Determine mm para que la recta sea paralela al plano.5 pts
b
Calcule la distancia entre ellos.5 pts
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Ejercicio 3

3
10 puntos
De todos los rectángulos de diagonal 626\sqrt{2} cm, determine el rectángulo de perímetro máximo.
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Ejercicio 4

4
10 puntos
Consideremos las funciones f(x)=x3f(x) = x^3 y g(x)=3x2−4g(x) = 3x^2 - 4.
a
Haga un dibujo aproximado de las funciones anteriores para x∈[−3,3]x \in [-3, 3].6 pts
b
Calcule el área limitada por las gráficas de las funciones anteriores.4 pts
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