Matemáticas II · Baleares 2016

Discuta para qué valores de $m$ el sistema siguiente es compatible:

Sea $A$ la matriz siguiente: $$A = \begin{pmatrix} a & 0 & 0 \\ 1 & a & 0 \\ 0 & 1 & a \end{pmatrix}$$ donde $a$ es un valor real.

Determine $m$ para que la recta $\frac{x - 1}{0} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 3}{1}$ y el plano $\pi : x + 2y + m \cdot z = 6$ formen un ángulo de 45 grados y calcule el punto de intersección entre la recta y el plano.

Determine $m$ para que la recta $\frac{x}{-1} = \frac{y + 1}{m} = \frac{z + 3}{3}$ sea paralela al plano $x + y - z = 5$ y calcule la distancia entre ellos.

Considere la función $f(x) = 2 \cdot e^{-(x - 1)} + 4x$.

De todos los rectángulos de diagonal $6\sqrt{2}$ cm, determine el rectángulo de perímetro máximo.

Calcule la siguiente integral indefinida: $$\int (x^2 + 1) \cdot \ln x \, dx$$

Consideremos las funciones $f(x) = x^3$ y $g(x) = 3x^2 - 4$.