Saltar al contenido
la cuevadel empollón
Matemáticas IIMadridPAU 2021Ordinaria

Matemáticas II · Madrid 2021

8 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. Despues de leer atentamente el examen, responda razonadamente cuatro preguntas cualesquiera a elegir entre las ocho que se proponen. TIEMPO Y CALIFICACION: 90 minutos. Cada pregunta se calificara sobre 2.5 puntos.

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
Tres hermanos quieren repartirse de forma equitativa un total de 540 acciones valoradas en 1560 euros, que corresponden a tres empresas A, B y C. Sabiendo que el valor actual en bolsa de la accion A es el triple que el de B y la mitad que el de C, que el numero de acciones de C es la mitad que el de B y que el actual valor en bolsa de la accion B es 1 euro, encuentre el numero de cada tipo de accion que le corresponde a cada hermano.
Ver este ejercicio

Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2,5 puntos
Se considera el siguiente sistema de ecuaciones dependientes del parametro real aa:{ax−2y+(a−1)z=4−2x+3y−6z=2−ax+y−6z=6\begin{cases} ax - 2y + (a - 1)z = 4 \\ -2x + 3y - 6z = 2 \\ -ax + y - 6z = 6 \end{cases}
a
Discuta el sistema segun los diferentes valores de aa.2 pts
b
Resuelva el sistema para a=1a = 1.0,5 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
Calcule el area de la region delimitada por las graficas de las funciones f(x)=2+x−x2,g(x)=2x2−4x.f(x) = 2 + x - x^2, \quad g(x) = 2x^2 - 4x.
Ver este ejercicio

Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2,5 puntos
Se considera la funcionf(x)={sen⁡xsi x<0xexsi x≥0f(x) = \begin{cases} \sen x & \text{si } x < 0 \\ xe^x & \text{si } x \geq 0 \end{cases}
a
Estudie la continuidad y la derivabilidad de ff en x=0x = 0.0,75 pts
b
Estudie los intervalos de crecimiento y decrecimiento de ff restringida a (−π,2)(-\pi, 2). Demuestre que existe un punto x0∈[0,1]x_0 \in [0, 1] de manera que f(x0)=2f(x_0) = 2.1 pt
c
Calcule ∫−π21f(x)dx\int_{-\frac{\pi}{2}}^{1} f(x) dx.0,75 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
Sean la recta r≡{−x−y+z=02x+3y−z+1=0r \equiv \begin{cases} -x - y + z = 0 \\ 2x + 3y - z + 1 = 0 \end{cases} y el plano π≡2x+y−z+3=0\pi \equiv 2x + y - z + 3 = 0. Se pide:
a
Calcular el angulo que forman rr y π\pi.0,75 pts
b
Hallar el simetrico del punto de interseccion de la recta rr y el plano π\pi con respecto al plano z−y=0z - y = 0.1 pt
c
Determinar la proyeccion ortogonal de la recta rr sobre el plano π\pi.0,75 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2,5 puntos
Sean los planos π1≡x+y=1\pi_1 \equiv x + y = 1 y π2≡x+z=1\pi_2 \equiv x + z = 1.
a
Halle los planos paralelos al plano π1\pi_1 tales que su distancia al origen de coordenadas sea 2.1,5 pts
b
Halle la recta que pasa por el punto (0,2,0)(0, 2, 0) y es perpendicular al plano π2\pi_2.0,5 pts
c
Halle la distancia entre los puntos de interseccion del plano π1\pi_1 con los ejes xx e yy.0,5 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
El tiempo de vida de los individuos de cierta especie animal tiene una distribucion normal con una media de 8,88{,}8 meses y una desviacion tipica de 33 meses.
a
¿Qué porcentaje de individuos de esta especie supera los 10 meses? ¿Qué porcentaje de individuos ha vivido entre 7 y 10 meses?1 pt
b
Si se toman al azar 4 especímenes, ¿cual es la probabilidad de que al menos uno no supere los 10 meses de vida?1 pt
c
¿Qué valor de cc es tal que el intervalo (8,8−c,8,8+c)(8{,}8 - c, 8{,}8 + c) incluye el tiempo de vida (medido en meses) del 98%98\% de los individuos de esta especie?0,5 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos
Una estacion de medicion de calidad del aire mide niveles de NOX2\ce{NO2} y de partículas en suspension. La probabilidad de que en un día se mida un nivel de NOX2\ce{NO2} superior al permitido es 0,160{,}16. En los días en los que se supera el nivel permitido de NOX2\ce{NO2}, la probabilidad de que se supere el nivel permitido de partículas es 0,330{,}33. En los días en los que no se supera el nivel de NOX2\ce{NO2}, la probabilidad de que se supere el nivel de partículas es 0,080{,}08.
a
¿Cuál es la probabilidad de que en un día se superen los dos niveles permitidos?0,5 pts
b
¿Cuál es la probabilidad de que se supere al menos uno de los dos?0,75 pts
c
¿Son independientes los sucesos “en un día se supera el nivel permitido de NOX2\ce{NO2}” y “en un día se supera el nivel permitido de partículas”?0,5 pts
d
¿Cuál es la probabilidad de que en un día se supere el nivel permitido de NOX2\ce{NO2}, sabiendo que no se ha superado el nivel permitido de partículas?0,75 pts
Ver este ejercicio