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la cuevadel empollón
Matemáticas IIExtremaduraPAU 2011Ordinaria

Matemáticas II · Extremadura 2011

4 ejercicios

Instrucciones

El alumno elegirá una de las dos opciones propuestas. Cada una de las cuatro cuestiones de la opción elegida puntuará 2'5 puntos como máximo. Cuando la solución de una cuestión se base en un cálculo, éste deberá incluirse en la respuesta dada.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
a
Enuncie el Teorema de Rolle.1 pt
b
Pruebe que cualquiera que sea la constante aa la función f(x)=x3−5x2+7x+af(x) = x^3 - 5x^2 + 7x + a cumple las hipótesis de dicho teorema en el intervalo [1,3][1, 3]. Calcule un punto del intervalo abierto (1,3)(1, 3) cuya existencia asegura el Teorema de Rolle.1,5 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
a
Represente, de forma aproximada, la figura plana limitada por la curva y=−2(x−1)3y = -2(x - 1)^3, su recta tangente en el punto (1,0)(1, 0) y la recta x=0x = 0. (Puede ser útil calcular los cortes de la curva y=−2(x−1)3y = -2(x - 1)^3 con los ejes coordenados.)1,5 pts
b
Calcule el área de dicha figura plana.1 pt
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Calcule la matriz X=(x1y0)X = \begin{pmatrix} x & 1 \\ y & 0 \end{pmatrix} que cumple la ecuación X⋅Xt=(1001),X \cdot X^t = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, donde XtX^t es la matriz traspuesta de XX.
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
a
Estudie, en función de los parámetros aa y bb, la posición relativa de la recta r:{x=0y=0r : \begin{cases} x = 0 \\ y = 0 \end{cases} y el plano Π≡x+y+az=b\Pi \equiv x + y + az = b.1,5 pts
b
Para cada una de las posiciones obtenidas, diga cómo es el sistema formado por las tres ecuaciones x=0,y=0,x+y+az=b.x = 0, \quad y = 0, \quad x + y + az = b.1 pt
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
a
Enuncie el Teorema del Valor Medio del Cálculo Integral.1 pt
b
Calcule el punto al que se refiere dicho teorema para la función f(x)=ex+1f(x) = e^x + 1 en el intervalo [0,1][0, 1].1,5 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
a
Estudie las asíntotas, los extremos relativos y los puntos de inflexión de la función f(x)=xe−xf(x) = x e^{-x}.2 pts
b
Represente, utilizando los datos obtenidos en el apartado anterior, la gráfica de la función f(x)=xe−xf(x) = x e^{-x}.0,5 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Discuta, en función del parámetro aa, el sistema de ecuaciones {−x+2y+z=ax+(a−1)y+az=0ax+2y+z=−1\begin{cases} -x + 2y + z = a \\ x + (a - 1)y + az = 0 \\ ax + 2y + z = -1 \end{cases} (no es necesario resolverlo en ningún caso).
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Considere las rectas r:{x+y=0x−z=1r : \begin{cases} x + y = 0 \\ x - z = 1 \end{cases} y s:{x=1y=λz=λs : \begin{cases} x = 1 \\ y = \lambda \\ z = \lambda \end{cases}
a
Determine el plano Π\Pi que contiene a la recta rr y corta perpendicularmente a la recta ss.2 pts
b
Calcule el punto donde se cortan el plano Π\Pi y la recta ss.0,5 pts
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