Matemáticas II · Extremadura 2011

Enuncie el Teorema de Rolle.

Pruebe que cualquiera que sea la constante $a$ la función $f(x) = x^3 - 5x^2 + 7x + a$ cumple las hipótesis de dicho teorema en el intervalo $[1, 3]$. Calcule un punto del intervalo abierto $(1, 3)$ cuya existencia asegura el Teorema de Rolle.

Enuncie el Teorema del Valor Medio del Cálculo Integral.

Calcule el punto al que se refiere dicho teorema para la función $f(x) = e^x + 1$ en el intervalo $[0, 1]$.

Represente, de forma aproximada, la figura plana limitada por la curva $y = -2(x - 1)^3$, su recta tangente en el punto $(1, 0)$ y la recta $x = 0$. (Puede ser útil calcular los cortes de la curva $y = -2(x - 1)^3$ con los ejes coordenados.)

Calcule el área de dicha figura plana.

Estudie las asíntotas, los extremos relativos y los puntos de inflexión de la función $f(x) = x e^{-x}$.

Represente, utilizando los datos obtenidos en el apartado anterior, la gráfica de la función $f(x) = x e^{-x}$.

Estudie, en función de los parámetros $a$ y $b$, la posición relativa de la recta $r : \begin{cases} x = 0 \\ y = 0 \end{cases}$ y el plano $\Pi \equiv x + y + az = b$.

Para cada una de las posiciones obtenidas, diga cómo es el sistema formado por las tres ecuaciones $$x = 0, \quad y = 0, \quad x + y + az = b.$$

Determine el plano $\Pi$ que contiene a la recta $r$ y corta perpendicularmente a la recta $s$.

Calcule el punto donde se cortan el plano $\Pi$ y la recta $s$.