Matemáticas CCSS · Baleares 2011

Considerad el siguiente sistema de ecuaciones dependiente del parámetro $m$: $$\begin{cases} x + 2y - 2z = 6 \\ x - y + 2z = 0 \\ 3x + 2y + mz = 5 \end{cases}$$

Un grupo de personas se reúnen para hacer la ruta de los patios por el centro de la ciudad de Palma, y se juntan un total de $80$ personas, entre hombres, mujeres y niños. Contando hombres y mujeres juntos, su número resulta que es el triple del número de niños. Además, si hubieran acudido dos mujeres más, su número igualaría al de hombres.

Un fabricante de maquinaria de construcción lanza una oferta especial en dos de sus modelos pequeños de palas cargadoras: ofrece el modelo A a un precio de $12.000$ euros y el modelo B a $18.000$ euros. La oferta está limitada por las existencias, que son $40$ unidades del modelo A y $20$ unidades del modelo B, y se quieren vender al menos tantas unidades del modelo A como del modelo B. Por otra parte, para cubrir los gastos de la campaña, los ingresos obtenidos con esta deben ser, al menos, de $120.000$ euros.

Dibujad la región determinada por las inequaciones $$x \geq 0, x + y \leq 50, y \geq 1, x \geq y, 4x + 8y \geq 120$$ Minimizad la función $F(x, y) = 2x + 3y$ sometida a las restricciones dadas por estas inequaciones.

El coste de fabricación de $x$ unidades de un determinado producto viene dado por la función $$C(x) = \frac{1}{10}x^2 + 3x + 102{,}4$$ en unidades monetarias. Se define la función de coste medio por unidad como $M(x) = \frac{C(x)}{x}$. Calculad el nivel de producción que minimiza el coste medio por unidad. ¿Cuál es este precio?

Calculad $a$ y $b$ para que la función $f(x) = a \ln x + bx^2 + x$ tenga extremos relativos en $x = 1$ y en $x = 2$. Para estos valores de $a$ y $b$, ¿qué tipo de extremo relativo tiene la función cuando $x = 2$ y $x = 1$?

Estudios realizados sobre las aguas de los pozos de una determinada región han puesto de manifiesto dos cosas: por un lado, que el $5\%$ está infectado por la bacteria Escherichia coli. Por otro, que el análisis de agua aplicado, $X$, diagnostica como infectado un $96\%$ de los que lo están en realidad y un $1\%$ de los que no lo están. Sabiendo que un pozo de esta región elegido al azar ha sido diagnosticado como infectado mediante el análisis $X$, ¿cuál es la probabilidad de que realmente esté infectado? ¿Y que no lo esté?

El salario medio correspondiente a una muestra de $1.600$ personas de una determinada población es de $1.150$ euros. Se sabe que la desviación típica de los salarios en la población es de $150$ euros. ¿Se puede afirmar, con un nivel de significación del $1\%$, que el salario medio en esta población es de $1.250$ euros?