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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSPaís VascoPAU 2020Ordinaria

Matemáticas CCSS · País Vasco 2020

8 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. Este examen tiene ocho ejercicios. Debes contestar a CUATRO de ellos. En caso de responder a más preguntas de las estipuladas, las respuestas se corregirán en orden hasta llegar al número necesario. No olvides incluir el código en cada una de las hojas de examen. Está permitido el uso de calculadoras científicas que no presenten ninguna de las siguientes prestaciones: pantalla gráfica, posibilidad de trasmitir datos, programable, resolución de ecuaciones, operaciones con matrices, cálculo de determinantes, derivadas e integrales, almacenamiento de datos alfanuméricos.

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
Se considera la ecuación matricial:A⋅X=At⋅Bdonde A=(12−1012120)yB=(102)A \cdot X = A^{t} \cdot B \qquad \text{donde } A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad B = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}
a
¿Qué dimensión debe tener la matriz XX?0,5 pts
b
Resuelve la ecuación matricial.2 pts
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2,5 puntos
Un guía de turismo quiere adquirir tickets de diferentes actividades para sus clientes. En concreto, quiere comprar al menos 1616 tickets para acudir a un museo, 2020 para realizar una visita guiada y 1616 para asistir a un espectáculo. Dos agencias disponen de ofertas para dichos tickets combinados en paquetes: La agencia A ofrece paquetes formados por 66 tickets para el museo, 44 para la visita guiada y 44 para el espectáculo, a 210 €210\,\text{€} cada paquete. La agencia B ofrece paquetes formados por 44 tickets para el museo, 66 para la visita guiada y 44 para el espectáculo, a 230 €230\,\text{€} cada paquete. ¿Cuántos paquetes deberá comprar el guía a cada agencia para que su coste sea mínimo? ¿A cuánto asciende dicho coste?
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
Sea f(x)f(x) la siguiente función:f(x)={x2si 0≤x≤1ax+2si 1<x≤2f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{si } 0 \leq x \leq 1 \\ ax + 2 & \text{si } 1 < x \leq 2 \end{cases}
a
Determina el valor del parámetro aa para que la función f(x)f(x) sea continua en el punto x=1x = 1.1 pt
b
Realiza la representación gráfica de la función cuando a=2a = 2.0,5 pts
c
Calcula el área comprendida entre la función y el eje de abscisas OXOX para a=2a = 2.1 pt
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2,5 puntos
Sea la siguiente función f(x)=xx2+1f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}
a
Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los máximos y mínimos relativos de la función.1 pt
b
Calcula las asíntotas verticales y horizontales de la función.0,5 pts
c
Representa gráficamente el área comprendida entre la función y la recta y=x2y = \frac{x}{2}.0,5 pts
d
Obtén la primitiva de la función f(x)f(x), sabiendo que en x=0x = 0 toma el valor 11.0,5 pts
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
En una caja hay una bola roja y una bola azul. Se han extraído dos bolas de la caja como se explica a continuación: se ha extraído una bola, y antes de sacar la segunda se ha devuelto a la caja la primera bola extraída, añadiendo otra bola del mismo color.
a
Calcula la probabilidad de que la segunda bola extraída sea roja si la primera que se ha sacado era azul.0,75 pts
b
Calcula la probabilidad de que la segunda bola extraída sea azul.1 pt
c
Si la segunda bola ha sido azul, ¿cuál es la probabilidad de que la primera bola extraída haya sido roja?0,75 pts
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2,5 puntos
Sean AA y BB dos sucesos compatibles asociados a un experimento aleatorio. Se sabe que P(A)=0,6P(A) = 0{,}6, P(B)=0,5P(B) = 0{,}5 y P(A∩B)=0,4P(A \cap B) = 0{,}4. Calcula:
a
P(A∪B)P(A \cup B)0,65 pts
b
P(Ac∩Bc)P(A^c \cap B^c)0,6 pts
c
P(Ac∩B)P(A^c \cap B)0,6 pts
d
P(A∣B)P(A|B)0,65 pts
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
La altura en centímetros de las mujeres de un determinado país sigue una distribución normal de media 163 cm163\,\text{cm} y desviación típica 7 cm7\,\text{cm}.
a
Si se toma una mujer al azar, ¿cuál es la probabilidad de que su altura sea superior a 171 cm171\,\text{cm}? ¿Y de que su altura esté comprendida entre 155155 y 171 cm171\,\text{cm}?1,5 pts
b
Una empresa que fabrica disfraces quiere elaborar cuatro tallas en función de la altura, de tal modo que cada una de ellas sea adecuada para el 25 %25\,\% de las mujeres. ¿Cuáles serán las alturas que marcarán el cambio de una talla a otra?1 pt
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos
El peso de las truchas de una piscifactoría sigue una distribución normal de media 250 gramos250\,\text{gramos} y desviación típica 50 gramos50\,\text{gramos}. Únicamente son aptas para la venta aquellas que superan un determinado peso.
a
¿Cuál debería ser ese peso si se quiere que el 40 %40\,\% de las truchas de la piscifactoría sean aptas para la venta?1,25 pts
b
Si dicho peso se establece en 280 gramos280\,\text{gramos} y en la piscifactoría hay un total de 60006000 truchas, ¿cuántas de ellas se podrán poner a la venta?1,25 pts
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