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la cuevadel empollón
Matemáticas IICataluñaPAU 2025Extraordinaria

Matemáticas II · Cataluña 2025

5 ejercicios

Ejercicio 1

1
1º) Una familia quiere comprar un terreno para hacerse una casa rodeada de acantilados con vistas al mar. En esa zona de la costa, los acantilados siguen las rectas de ecuaciones y=0y = 0 e y=3xy = 3x. Además, la familia quiere que el terreno sea triangular y que el tercer lado del triángulo pase por el punto P(1,1)P(1, 1), tal y como puede verse en la figura.
a)
Plantee la ecuación de la recta rr que define el tercer lado del triángulo en función de su pendiente mm, y compruebe que el área del terreno viene dada por la siguiente expresión: S(m)=32⋅m2−2m+1m2−3mS(m) = \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{m^2 - 2m + 1}{m^2 - 3m}.
b)
Calcule el valor de mm que hace que el área de este terreno (y, por tanto, su precio) sea mínima. ¿Cuál es el valor de esta área?
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Ejercicio 2

2
2º) Considere el sistema de ecuaciones lineales siguiente: {x+3y+z=5mx+2z=0my−z=m\begin{cases} x + 3y + z = 5 \\ mx + 2z = 0 \\ my - z = m \end{cases}
a)
Discuta el sistema para los diferentes valores del parámetro mm.
b)
Resuelva el sistema para el caso m=1m = 1.
c)
Resuelva el sistema cuando éste tenga infinitas soluciones.
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Ejercicio 3

3
3º) La lesión por sesamoiditis (inflamación del hueso sesamoide del pie) es relativamente habitual entre la población que practica deportes de impacto (atletismo, baloncesto, tenis, …). En una población de deportistas, se ha realizado un estudio diferenciando entre los que practican deportes de impacto y los que practican deportes sin impacto brusco (como natación, pilates, senderismo, …). Se ha podido determinar que el 45 % practican deportes de impacto. Entre ellos, un 10 % sufren lesiones por sesamoiditis, mientras que entre los que no practican deportes de impacto sólo un 3 % presentan esta lesión. Escogemos a un deportista al azar:
a)
¿Cuál es la probabilidad de que sufra sesamoiditis?
b)
Si el deportista elegido tiene una lesión por sesamoiditis, ¿cuál es la probabilidad de que practique deportes de impacto?
c)
Una empresa de calzado deportivo ha creado una zapatilla con amortiguación para minimizar las lesiones por sesamoiditis. Los beneficios generados por la venta de este producto, en miles de euros, siguen una función de la forma f(x)=ax3+bx2+cxf(x) = ax^3 + bx^2 + cx, donde xx son los años transcurridos desde que la zapatilla salió a la venta y aa, bb, cc son constantes reales. Calcule los valores aa, bb y cc sabiendo que el primer año se obtuvieron el máximo de beneficios, con un valor de 8.000 euros, y que en el segundo año hubo un punto de inflexión en los beneficios.
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A

Elija UNA de las dos opciones (A o B) y responda a las cuestiones que se plantean.

4A) Un vidriero está reparando una de las vidrieras de La Sagrada Familia cuya forma es la de la parte sombreada de la figura adjunta. Se ha dado cuenta de que Gaudí lo diseñó de forma que uno de los lados sigue la función y=f(x)=3⋅sen⁡x4y = f(x) = 3 \cdot \operatorname{sen} \dfrac{x}{4} y otro sigue la función y=g(x)=3⋅cos⁡x4y = g(x) = 3 \cdot \cos \dfrac{x}{4}, donde xx e yy están expresadas en metros.
a)
Razone a qué función corresponde cada gráfica y calcula las coordenadas de los puntos B y C señalados en la figura (teniendo en cuenta que A es el origen de coordenadas).
b)
Calcula el precio de la vidriera sabiendo que cuesta 750 euros cada metro cuadrado.
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B

Elija UNA de las dos opciones (A o B) y responda a las cuestiones que se plantean.

4B) Considere el plano π≡2x−y+z=5\pi \equiv 2x - y + z = 5 y el punto P(0,1,3)P(0, 1, 3).
a)
Compruebe que la distancia del punto P al plano π\pi es 62\dfrac{\sqrt{6}}{2}.
b)
Encuentre la ecuación general de un plano π′\pi' paralelo a π\pi y que pase por el punto P. ¿Cuánto vale la distancia entre π′\pi' y π\pi?
c)
Encuentre la ecuación general de un segundo plano π2\pi_2, diferente de π′\pi', que sea paralelo a π\pi y que esté a una distancia 62\dfrac{\sqrt{6}}{2} de π\pi.
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