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la cuevadel empollón
Matemáticas IIPaís VascoPAU 2021Ordinaria

Matemáticas II · País Vasco 2021

10 ejercicios

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
PRIMERA PARTE

Responda solo a uno de los dos ejercicios (A1 o B1).

Discutir el siguiente sistema de ecuaciones lineales, en función del parámetro α\alpha: {αx−y+z=1,3x−y+αz=α,x+(α−1)z=1. \left\{ \begin{array}{l} \alpha x - y + z = 1, \\ 3 x - y + \alpha z = \alpha , \\ x + (\alpha - 1) z = 1. \end{array} \right. Resolver el sistema para α=3\alpha = 3, si es posible.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2,5 puntos
PRIMERA PARTE

Responda solo a uno de los dos ejercicios (A1 o B1).

Sea la matriz A=(23α1α10α−1). A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & \alpha \\ 1 & \alpha & 1 \\ 0 & \alpha & - 1 \end{pmatrix}.
a)1,25 pts
Determinar para qué valores del parámetro α\alpha la matriz AA no tiene inversa.
b)1,25 pts
Calcular, si es posible, la matriz inversa de AA para α=2\alpha = 2.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
SEGUNDA PARTE

Responda solo a uno de los dos ejercicios (A2 o B2).

Sean rr la recta que pasa por los puntos A=(1,a,−1)A = (1, a, -1) y B=(b,1,1)B = (b, 1, 1) y π\pi el plano de ecuación x+y−2z=2bx + y - 2z = 2b.
a)1,25 pts
Calcular los valores de los parámetros aa y bb para que la recta rr sea perpendicular al plano π\pi.
b)1,25 pts
Calcular los valores de los parámetros aa y bb para que la recta rr esté contenida en el plano π\pi.
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2,5 puntos
SEGUNDA PARTE

Responda solo a uno de los dos ejercicios (A2 o B2).

Encontrar las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto P=(−2,1,0)P = (-2, 1, 0) y corta perpendicularmente a la recta rr de ecuaciones paramétricas {x=1−2t,y=1+t,z=t}. \{x = 1 - 2t, y = 1 + t, z = t \}. Calcular la distancia de PP al punto de corte de ambas rectas.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
TERCERA PARTE

Responda solo a uno de los dos ejercicios (A3 o B3).

Estudiar los máximos, los mínimos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f(x)=5+8x2−x4f(x) = 5 + 8x^2 - x^4. Representar la gráfica de ff.
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2,5 puntos
TERCERA PARTE

Responda solo a uno de los dos ejercicios (A3 o B3).

Sea la función f(x)=Ax3+Bx2+Cx+Af(x) = Ax^3 + Bx^2 + Cx + A.
a)1,25 pts
Obtener los valores de los parámetros AA, BB y CC para que la gráfica de ff pase por el punto (0,1)(0, 1) y tenga un mínimo en el punto (1,1)(1, 1).
b)1,25 pts
¿La función obtenida tiene otros máximos o mínimos? En caso afirmativo, encontrarlos.
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
CUARTA PARTE

Responda solo a uno de los dos ejercicios (A4 o B4).

Sean las funciones: f(x)=1/xf(x) = 1/x, g(x)=x2g(x) = x^2, h(x)=x2/8h(x) = x^2/8.
a)1,25 pts
Dibujar el recinto finito, en el primer cuadrante, limitado por las gráficas de esas tres funciones.
b)1,25 pts
Calcular el área de dicho recinto.
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos
CUARTA PARTE

Responda solo a uno de los dos ejercicios (A4 o B4).

Calcular, explicando los métodos utilizados, I=∫(x+2)sen⁡(2x) dxyJ=∫x+7x2−4x−5 dx. I = \int (x + 2) \sen(2x) \, dx \quad \text{y} \quad J = \int \frac{x + 7}{x^2 - 4x - 5} \, dx.
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Ejercicio 5 · Opción A

5Opción A
2,5 puntos
QUINTA PARTE

Responda solo a uno de los dos ejercicios (A5 o B5).

En una farmacia se ha recibido un lote de medicamentos de los tipos A, I y M. El 80%80\% corresponde al medicamento A, el 10%10\% al I y el resto al M. En la revisión realizada por la farmacéutica se ha observado que hay medicamentos caducados en los siguientes porcentajes: el 10%10\% de A, el 20%20\% de I y el 5%5\% de M. Se elige una caja de medicamentos al azar. Hallar:
a)1 pts
La probabilidad de coger un medicamento caducado.
b)1 pts
Si sabemos que el medicamento está caducado, la probabilidad de que sea del tipo A.
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Ejercicio 5 · Opción B

5Opción B
2,5 puntos
QUINTA PARTE

Responda solo a uno de los dos ejercicios (A5 o B5).

En una ciudad se han elegido al azar 39003900 personas. Hallar:
a)1 pts
La probabilidad de que al menos 1515 de ellas cumplan años el día del patrón de la ciudad.
b)1 pts
La probabilidad de que el número de personas que cumplan años el día del patrón esté comprendido entre 55 y 1515, ambos incluidos.
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