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la cuevadel empollón
Matemáticas IIPaís VascoPAU 2021Ordinaria

Matemáticas II · País Vasco 2021

10 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. Este examen tiene cinco partes, de 2,5 puntos cada una. Debes responder a CUATRO de ellas. En cada parte debes responder a una única pregunta. En caso de responder a más preguntas de las estipuladas, las respuestas se corregirán en orden hasta llegar al número necesario. No olvides incluir el código en cada una de las hojas de examen. No se podrán usar calculadoras que tengan alguna de las siguientes prestaciones: pantalla gráfica, posibilidad de transmitir datos, programable, resolución de ecuaciones, operaciones con matrices, cálculo de determinantes, cálculo de derivadas e integrales, almacenamiento de datos alfanuméricos.

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
Primera parte

Responda solo a uno de los dos ejercicios (A1 o B1).

Discutir el siguiente sistema de ecuaciones lineales, en función del parámetro α\alpha:{αx−y+z=1,3x−y+αz=α,x+(α−1)z=1. \left\{ \begin{array}{l} \alpha x - y + z = 1, \\ 3 x - y + \alpha z = \alpha , \\ x + (\alpha - 1) z = 1. \end{array} \right. Resolver el sistema para α=3\alpha = 3, si es posible.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2,5 puntos
Primera parte

Responda solo a uno de los dos ejercicios (A1 o B1).

Sea la matrizA=(23α1α10α−1). A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & \alpha \\ 1 & \alpha & 1 \\ 0 & \alpha & - 1 \end{pmatrix}.
a
Determinar para qué valores del parámetro α\alpha la matriz AA no tiene inversa.1,25 pts
b
Calcular, si es posible, la matriz inversa de AA para α=2\alpha = 2.1,25 pts
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
Segunda parte

Responda solo a uno de los dos ejercicios (A2 o B2).

Sean rr la recta que pasa por los puntos A=(1,a,−1)A = (1, a, -1) y B=(b,1,1)B = (b, 1, 1) y π\pi el plano de ecuación x+y−2z=2bx + y - 2z = 2b.
a
Calcular los valores de los parámetros aa y bb para que la recta rr sea perpendicular al plano π\pi.1,25 pts
b
Calcular los valores de los parámetros aa y bb para que la recta rr esté contenida en el plano π\pi.1,25 pts
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2,5 puntos
Segunda parte

Responda solo a uno de los dos ejercicios (A2 o B2).

Encontrar las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto P=(−2,1,0)P = (-2, 1, 0) y corta perpendicularmente a la recta rr de ecuaciones paramétricas{x=1−2t,y=1+t,z=t}. \{x = 1 - 2t, y = 1 + t, z = t \}. Calcular la distancia de PP al punto de corte de ambas rectas.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
Tercera parte

Responda solo a uno de los dos ejercicios (A3 o B3).

Estudiar los máximos, los mínimos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f(x)=5+8x2−x4f(x) = 5 + 8x^2 - x^4. Representar la gráfica de ff.
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2,5 puntos
Tercera parte

Responda solo a uno de los dos ejercicios (A3 o B3).

Sea la función f(x)=Ax3+Bx2+Cx+Af(x) = Ax^3 + Bx^2 + Cx + A.
a
Obtener los valores de los parámetros AA, BB y CC para que la gráfica de ff pase por el punto (0,1)(0, 1) y tenga un mínimo en el punto (1,1)(1, 1).1,25 pts
b
¿La función obtenida tiene otros máximos o mínimos? En caso afirmativo, encontrarlos.1,25 pts
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
Cuarta parte

Responda solo a uno de los dos ejercicios (A4 o B4).

Sean las funciones: f(x)=1/xf(x) = 1/x, g(x)=x2g(x) = x^2, h(x)=x2/8h(x) = x^2/8.
a
Dibujar el recinto finito, en el primer cuadrante, limitado por las gráficas de esas tres funciones.1,25 pts
b
Calcular el área de dicho recinto.1,25 pts
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos
Cuarta parte

Responda solo a uno de los dos ejercicios (A4 o B4).

Calcular, explicando los métodos utilizados,I=∫(x+2)sen⁡(2x) dxyJ=∫x+7x2−4x−5 dx. I = \int (x + 2) \sen(2x) \, dx \quad \text{y} \quad J = \int \frac{x + 7}{x^2 - 4x - 5} \, dx.
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Ejercicio 5 · Opción A

5Opción A
2,5 puntos
Quinta parte

Responda solo a uno de los dos ejercicios (A5 o B5).

En una farmacia se ha recibido un lote de medicamentos de los tipos A, I y M. El 80%80\% corresponde al medicamento A, el 10%10\% al I y el resto al M. En la revisión realizada por la farmacéutica se ha observado que hay medicamentos caducados en los siguientes porcentajes: el 10%10\% de A, el 20%20\% de I y el 5%5\% de M. Se elige una caja de medicamentos al azar. Hallar:
a
La probabilidad de coger un medicamento caducado.1 pt
b
Si sabemos que el medicamento está caducado, la probabilidad de que sea del tipo A.1 pt
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Ejercicio 5 · Opción B

5Opción B
2,5 puntos
Quinta parte

Responda solo a uno de los dos ejercicios (A5 o B5).

En una ciudad se han elegido al azar 39003900 personas. Hallar:
a
La probabilidad de que al menos 1515 de ellas cumplan años el día del patrón de la ciudad.1 pt
b
La probabilidad de que el número de personas que cumplan años el día del patrón esté comprendido entre 55 y 1515, ambos incluidos.1 pt
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