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la cuevadel empollón
Matemáticas IILa RiojaPAU 2023Ordinaria

Matemáticas II · La Rioja 2023

10 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. El alumno contestará a SÓLO CINCO ejercicios de entre los planteados. En caso contrario, el corrector corregirá los cinco que haya contestado primero. Todas las preguntas tienen la misma puntuación. Es necesario justificar las respuestas. Se permite el uso de calculadoras científicas siempre que no sean programables ni gráficas ni calculen integrales. Si algún alumno es sorprendido con una calculadora no autorizada, podrá ser expulsado del examen; en todo caso, se le retirará la calculadora sin que tenga derecho a que le proporcionen otra.

Ejercicio 1

1
2 puntos
Seaf(x)=x(x−2)(x−1)f(x) = \frac{x}{(x - 2)(x - 1)}
i
Halla el dominio, asíntotas verticales y horizontales de la función ff, en caso de que existan.1 pt
ii
Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y máximos y mínimos relativos si los hubiera.1 pt
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Halla el área del recinto encerrado por las gráficas de las parábolas y=x2−2x+1y = x^2 - 2x + 1 y y=−2x2+2xy = -2x^2 + 2x.
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Calcula los siguientes límites:
i
lim⁡x→0(ex+x3)1x\lim_{x \to 0} (e^x + x^3)^{\frac{1}{x}}1 pt
ii
lim⁡x→∞(x2−1x+2−x2+1x−2)\lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^2 - 1}{x + 2} - \frac{x^2 + 1}{x - 2} \right)1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real aa y resuélvelo en los casos en que es compatible determinado e indeterminado:{x+(a+1)y+z=ax+y+(a+1)z=a(a+1)x+y+z=a\begin{cases} x + (a + 1)y + z = a \\ x + y + (a + 1)z = a \\ (a + 1)x + y + z = a \end{cases}
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Ejercicio 5

5
2 puntos
Dada una matriz de tamaño 4×44 \times 4 cuyo determinante es igual a 22. Calcula el valor del determinante de la matriz resultante al realizar las siguientes operaciones:
i
se traspone la matriz,0,5 pts
ii
se cambian entre sí la primera y la cuarta columna,0,5 pts
iii
se multiplica la tercera columna por −4-4,0,5 pts
iv
se multiplica toda la matriz por 44.0,5 pts
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Ejercicio 6

6
2 puntos
Determina para qué valores del parámetro real aa la matriz AA:A=(110a−1a2−11a2−1a−1a+1)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ a - 1 & a^2 - 1 & 1 \\ a^2 - 1 & a - 1 & a + 1 \end{pmatrix}tiene inversa. Calcula, si es posible, la matriz inversa de AA para a=2a = 2.
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Ejercicio 7

7
2 puntos
Determina la posición relativa de la rectax−30=y+11=z−51\frac{x - 3}{0} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 5}{1}y el plano de ecuación 3x+2y−11z+3=03x + 2y - 11z + 3 = 0.
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Ejercicio 8

8
2 puntos
Halla el punto simétrico del punto A(0,2,3)A(0, 2, 3) respecto al plano π\pi de ecuación x+y−z=4x + y - z = 4.
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Ejercicio 9

9
2 puntos
En una empresa automovilística se ha recibido un lote de piezas de coches de tipos A, B y C. El 80%80\% corresponde al coche de tipo A, el 10%10\% al B y el resto al C. Se ha observado que hay piezas que están defectuosos en los siguientes porcentajes: el 10%10\% de A, el 20%20\% de B y el 5%5\% de C. Se elige una pieza al azar. Calcula:
i
la probabilidad de coger una pieza defectuosa.1 pt
ii
si sabemos que la pieza es defectuosa, la probabilidad de que sea del tipo A.1 pt
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Ejercicio 10

10
2 puntos
La edad media de un jugador de la NBA sigue una distribución normal de media 2727 años y desviación típica 55 años. Si se elige un jugador al azar, halla
i
la probabilidad de que su edad sea superior o igual a 3131 años;1 pt
ii
la probabilidad de que su edad esté entre 2121 y 3131 años.1 pt
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