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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAsturiasPAU 2019Ordinaria

Matemáticas II · Asturias 2019

4 ejercicios

Instrucciones

El examen presenta dos opciones: A y B. Elige una de ellas y responde razonadamente a los cuatro ejercicios de que consta dicha opción.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Dado el sistema de ecuaciones {mx+y−z=02x+my=mx+mz=mm∈R\begin{cases} mx + y - z = 0 \\ 2x + my = m \\ x + mz = m \end{cases} \quad m \in \mathbb{R}
a
Estudia y clasifica el sistema según los valores de mm.1,25 pts
b
Resuélvelo, si es posible, para el caso m=1m = 1.0,75 pts
c
Para qué valores de mm se tiene la solución x=0,y=1,z=1x = 0, y = 1, z = 1.0,5 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Dada la función f(x)=22+exf(x) = \frac{2}{2 + e^x}.
a
Calcula su dominio de definición y sus asíntotas.1 pt
b
Mediante el cambio de variable t=ext = e^x, calcula ∫22+exdx\int \frac{2}{2 + e^x} dx.1,5 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Sean los planos π1:x+y+z=0\pi_1: x + y + z = 0 y π2\pi_2. Su intersección es la recta r:{x+y+z=0x+z=0r: \begin{cases} x + y + z = 0 \\ x + z = 0 \end{cases}. Calcula:
a
La ecuación del plano π2\pi_2 sabiendo que A(1,1,1)∈π2A(1, 1, 1) \in \pi_2.1,25 pts
b
La ecuación de un plano π1′\pi_1' paralelo a π1\pi_1 y que esté a una distancia de 3\sqrt{3} unidades de la recta rr.1,25 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Un monitor de tenis compra un cañón para lanzar bolas. En las especificaciones del cañón se indica que falla el lanzamiento el 10%10\% de la veces.
Datos
  • Se pueden dejar indicadas las operaciones en potencias, sin necesidad de realizarlas
a
¿Cuál es la probabilidad de que, de 20 bolas lanzadas, se tengan exactamente 5 fallos?1,25 pts
b
¿Cuál es la probabilidad de que como mucho falle 2 veces de los 20 lanzamientos?1,25 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Sean las matrices A=(100201110),B=(102306),C=(121),D=(101)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad\allowbreak B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 3 \\ 0 & 6 \end{pmatrix}, \quad\allowbreak C = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad\allowbreak D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}
a
Razona, sin hacerlos, si son posibles los siguientes productos matriciales y, si es el caso, indica las dimensiones de las matrices resultantes: A⋅A,A⋅B,A⋅B⋅C,C⋅DA \cdot A, \quad\allowbreak A \cdot B, \quad\allowbreak A \cdot B \cdot C, \quad\allowbreak C \cdot D.1 pt
b
Calcula las inversas, si existen, de las matrices cuadradas posibles del apartado anterior.1,5 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Dada la curva y=13+x2y = \frac{1}{3 + x^2}.
a
Expresa la función m(x)m(x) que da la pendiente de la recta tangente a la curva en cada punto xx.1 pt
b
Calcula el valor xx donde se alcanza la máxima pendiente.1,5 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Sean los puntos A(1,1,1)A(1, 1, 1) y B(1,−1,−1)B(1, -1, -1). Calcula:
a
La ecuación del plano π\pi que hace que los puntos AA y BB sean simétricos respecto a él.1,5 pts
b
Los puntos CC y DD que dividen el segmento ABAB en tres partes iguales.1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Pedro y Luis son aficionados a los dardos. Pedro acierta en el centro el 10%10\% de las veces y cada vez que acierta gana 400400 €. Luis acierta en el centro el 20%20\% de las veces y cada vez que acierta gana 100100 €. Cuando fallan no ganan ni pierden nada. Tira cada uno dos dardos. Calcula las siguientes probabilidades:
a
Que Luis acierte en el centro las dos veces.0,75 pts
b
Que Pedro acierte en el centro una sola vez.1 pt
c
Que entre los dos hayan ganado 600600 €.0,75 pts
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