Matemáticas CCSS · Extremadura 2014

Una empresa de alimentación tiene en su almacén de legumbres 4000 kg de garbanzos y 300 kg de judías. Para favorecer su venta quiere distribuirlos en lotes de dos tipos, A y B. Cada lote A contiene 1 kg de garbanzos y 1 kg de judías. Cada lote B contiene 2 kg de garbanzos y 1 kg de judías. Se obtiene un beneficio de 2 euros por cada lote A y 3 euros por cada lote B. Se pide, justificando las respuestas:

Determinar la matriz $X$ solución de la ecuación matricial $A \cdot X - I = A$, donde: $$A = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & -1 \end{pmatrix} \qquad \text{e} \qquad I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Justificar la respuesta.

Según los datos facilitados por el Instituto Nacional de Estadística, el número de nacimientos en una determinada zona geográfica, durante los últimos 25 años, se ajusta a la función siguiente: $$N(t) = t^3 - 36t^2 + 240t + 8000, \quad 1 \leq t \leq 25$$ donde $N$ es el número de nacimientos y $t$ es el año objeto de estudio. Se pide, justificando las respuestas:

El beneficio mensual de una compañía depende del número de unidades producidas de acuerdo a la función $$P(x) = -A(x - 500)^2 + B, \quad x \geq 0$$ donde $P(x)$ representa el beneficio en euros y $x$ es el número de unidades producidas. Sabiendo que el beneficio máximo es $87000$ euros (para $x = 500$) y que si se producen $600$ unidades el beneficio es de $86000$ euros, se pide:

Una compañía aérea tiene contratada una empresa para la recuperación de los equipajes perdidos de sus pasajeros. Para comprobar la eficiencia de la empresa, la compañía desea saber la proporción de equipajes recuperados. Para ello realiza una encuesta a 122 pasajeros que perdieron el equipaje. De ellos, 103 lo recuperaron. Se pide, justificando la respuesta:

Los alumnos de 2º de Bachillerato de un Instituto se van de excursión al campo el próximo domingo. Desafortunadamente, el hombre del tiempo ha predicho que lloverá ese día. Se sabe, de predicciones anteriores, que cuando llueve, el hombre del tiempo predice lluvia el $90\%$ de las veces. Mientras que, cuando no llueve, predice lluvia un $10\%$ de las veces. Si sabemos que en la zona a la que van los alumnos llueve el $5\%$ de los días, ¿Cuál es la probabilidad de que llueva ese domingo? Justificar la respuesta.