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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSMurciaPAU 2020Extraordinaria

Matemáticas CCSS · Murcia 2020

10 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla normal estándar como anexo. OBSERVACIONES IMPORTANTE: Debes responder a un máximo de 5 preguntas. Cada cuestión tiene una puntuación de 2 puntos. Si se responde a más de 5 preguntas, sólo se corregirán las cinco primeras que haya respondido el/la estudiante. Solo se podrán usar las tablas estadísticas que se adjuntan. No se podrán usar calculadoras gráficas ni programables.

Ejercicio 1

1
2 puntos
Sean las matrices A=(10−12)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} y B=(2112)B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}.
a
Calcule (A⋅B)(A \cdot B).0,5 pts
b
Calcule (A−B)−1(A - B)^{-1}.0,5 pts
c
Hallar la matriz que verifica AX−A=BX+BAX - A = BX + B.1 pt
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Sea SS la región del plano definida por las inecuaciones:S={(x,y)∈R2/y≥2x−4,y≤x−1,2y≥x,x≥0,y≥0}S = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 / y \geq 2x - 4, y \leq x - 1, 2y \geq x, x \geq 0, y \geq 0 \}
a
Representar la región SS y obtener sus vértices.1 pt
b
Maximizar la función f(x,y)=x−3yf(x, y) = x - 3y en SS indicando los puntos de SS donde se alcanza el máximo.0,5 pts
c
Minimizar la función f(x,y)=x−3yf(x, y) = x - 3y en SS indicando los puntos de SS donde se alcanza el mínimo.0,5 pts
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Se ha estimado en una empresa que su beneficio en los próximos 10 años viene dado por la función: B(t)={at−t2si 0≤t≤62tsi 6<t≤10B(t) = \begin{cases} at - t^2 & \text{si } 0 \leq t \leq 6 \\ 2t & \text{si } 6 < t \leq 10 \end{cases} siendo tt el tiempo transcurrido en años.
a
Calcular el valor del parámetro aa para que la función de beneficios sea continua.0,5 pts
b
Para a=10a = 10, represente su gráfica y diga en qué intervalo de tiempo la función crece o decrece.1 pt
c
Para a=10a = 10, indique en qué momento, de los 6 primeros años, se obtiene el máximo beneficio y cuál es su valor.0,5 pts
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Calcule las derivadas de las siguientes funciones:
a
f(x)=(x2−2)ln⁡xf(x) = (x^2 - 2) \ln x.1 pt
b
f(x)=e4x3+2f(x) = e^{4x^3 + 2}.1 pt
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Ejercicio 5

5
2 puntos
Representar gráficamente el recinto del plano limitado por la parábola f(x)=4−x2f(x) = 4 - x^2 y la recta g(x)=x+2g(x) = x + 2. Calcular su área.
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Ejercicio 6

6
2 puntos
Calcular el área del recinto limitado por la parábola f(x)=−x2+6xf(x) = -x^2 + 6x y el eje OXOX. Hacer una representación gráfica aproximada de dicha área.
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Ejercicio 7

7
2 puntos
Entre los alumnos ERASMUS que han llegado este curso a la Universidad de Murcia el 75%75\% hablan inglés, el 50%50\% hablan francés y un 5%5\% no hablan ninguno de estos dos idiomas. Elegido un alumno al azar:
a
Calcule la probabilidad de que hable inglés o francés.0,5 pts
b
Calcule la probabilidad de que hable inglés y francés.0,5 pts
c
Calcule la probabilidad de que, hablando inglés, no hable francés.1 pt
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Ejercicio 8

8
2 puntos
En una empresa multinacional el 60%60\% de las reuniones se realizan a través de videoconferencia. El 40%40\% de los empleados que asisten a estas videoconferencias son de países de la Unión Europea, mientras que en las reuniones presenciales solo el 20%20\% son trabajadores que no pertenecen a la Unión Europea. Si elegimos un trabajador al azar:
a
Calcule la probabilidad de que pertenezca a la Unión Europea.1 pt
b
Sabiendo que el trabajador es de la Unión Europea, ¿Cuál es la probabilidad de que haya asistido a la reunión por videoconferencia?1 pt
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Ejercicio 9

9
2 puntos
El precio medio de los aspiradores de una gran superficie se distribuye según una distribución normal de desviación típica 100 €100\,€. Se toma una muestra aleatoria de 99 aspiradoras de distintas marcas obteniendo un precio medio de 178,89 €178{,}89\,€.
Datos
  • sigma=100 €\\sigma = 100\,€
  • n=9n = 9
  • barx=178,89 €\\bar{x} = 178{,}89\,€
a
Determine un intervalo de confianza al 99%99\% para el precio medio.1 pt
b
Hallar el tamaño mínimo que debe tener la muestra para que, con un nivel de confianza del 99%99\%, el error cometido de estimación del precio no supere los 50 €50\,€.1 pt
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Ejercicio 10

10
2 puntos
Se sabe que el peso de los tarros de cacao de un supermercado es una variable aleatoria que sigue una distribución normal con desviación típica de 1,81{,}8 gramos. Se toma una muestra aleatoria de 99 tarros y se obtiene un peso medio de 8989 gramos.
Datos
  • sigma=1,8 g\\sigma = 1{,}8\,\text{g}
  • n=9n = 9
  • barx=89 g\\bar{x} = 89\,\text{g}
a
Obtenga un intervalo de confianza, al 95%95\%, para la media de esta población.1 pt
b
¿Cuál será el tamaño mínimo que debe tener la muestra para que el error cometido de estimación del peso no supere 11 gramo, a un nivel de confianza del 95%95\%?1 pt
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