Matemáticas II · Murcia 2011

Calcule las tres medianas del triángulo de vértices $A = (5, -1, 4)$, $B = (-1, 7, 6)$ y $C = (5, 3, 2)$.

Compruebe que las tres medianas se cortan en un punto (llamado baricentro) y calcule las coordenadas de dicho punto.

Estudiar si existen asíntotas verticales y calcular los límites laterales en caso de que las haya.

Estudiar si existen asíntotas horizontales y calcularlas en caso de que las haya.

Demuestre que el área de dicho triángulo viene dada por la función $A(x) = 12 \sen(x)$, donde $x$ denota el ángulo formado por las manecillas del reloj.

Determine el ángulo que deben formar las manecillas del reloj para que el área de dicho triángulo sea máxima ¿Cuál es el valor de dicha área máxima? Se puede utilizar el apartado a) aunque no se haya demostrado.

Calcule la integral indefinida $\int \frac{\sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}} dx$ utilizando el método de cambio de variable (o método de sustitución).

Calcule la integral definida $\int_{0}^{1} \ln(1 + x^2) dx$, donde $\ln$ denota la función logaritmo neperiano, utilizando el método de integración por partes.

Dada la función $f(x) = \frac{3x}{1 - x^2}$ definida para los valores $-1 < x < 1$, determine los puntos de corte de la recta $y = 4x$ con la gráfica de $f$.

Calcule el área del recinto limitado por la recta $y = 4x$ y la gráfica de $f$.