Saltar al contenido
la cuevadel empollón
Matemáticas IIMurciaPAU 2011Ordinaria

Matemáticas II · Murcia 2011

4 ejercicios

Instrucciones

OBSERVACIONES IMPORTANTES: El alumno deberá responder a todas las cuestiones de una de las opciones A o B. No está permitido utilizar calculadoras programables ni que realicen cálculo simbólico, integrales o gráficas.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Demuestre, sin utilizar la regla de Sarrus y sin desarrollar directamente por una fila y/o columna, que(xx+1x+2xx+3x+4xx+5x+6)=0\begin{pmatrix} x & x + 1 & x + 2 \\ x & x + 3 & x + 4 \\ x & x + 5 & x + 6 \end{pmatrix} = 0Indique en cada paso qué propiedad (o propiedades) de los determinantes se está utilizando.
Ver este ejercicio

Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Determine el plano que contiene a la recta{3x+2y−5z=−24x−3y−2z=−1\begin{cases} 3x + 2y - 5z = -2 \\ 4x - 3y - 2z = -1 \end{cases}y es paralelo a la rectax−53=y+2−2=z−17−1\frac{x - 5}{3} = \frac{y + 2}{-2} = \frac{z - 17}{-1}
Ver este ejercicio

Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Dada la función f(x)=ex+1ex−1f(x) = \frac{e^x + 1}{e^x - 1}, se pide:
a
Estudiar si existen asíntotas verticales y calcular los límites laterales en caso de que las haya.1,25 pts
b
Estudiar si existen asíntotas horizontales y calcularlas en caso de que las haya.1,25 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 4

4
2,5 puntos
a
Calcule la integral indefinida ∫x1+xdx\int \frac{\sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}} dx utilizando el método de cambio de variable (o método de sustitución).1 pt
b
Calcule la integral definida ∫01ln⁡(1+x2)dx\int_{0}^{1} \ln(1 + x^2) dx, donde ln⁡\ln denota la función logaritmo neperiano, utilizando el método de integración por partes.1,5 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Discuta, en función de los parámetros aa y bb, el siguiente sistema de ecuaciones. No hay que resolverlo.{x+ay+2z=3x−3y−z=−1−x+8y+4z=b\begin{cases} x + ay + 2z = 3 \\ x - 3y - z = -1 \\ -x + 8y + 4z = b \end{cases}
Ver este ejercicio

Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Se llama mediana de un triángulo a cada una de las rectas que pasan por el vértice de un triángulo y por el punto medio del lado opuesto a dicho vértice.
a
Calcule las tres medianas del triángulo de vértices A=(5,−1,4)A = (5, -1, 4), B=(−1,7,6)B = (-1, 7, 6) y C=(5,3,2)C = (5, 3, 2).1,25 pts
b
Compruebe que las tres medianas se cortan en un punto (llamado baricentro) y calcule las coordenadas de dicho punto.1,25 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Las manecillas de un reloj miden 44 y 66 cm; uniendo sus extremos se forma un triángulo.
a
Demuestre que el área de dicho triángulo viene dada por la función A(x)=12sen⁡(x)A(x) = 12 \sen(x), donde xx denota el ángulo formado por las manecillas del reloj.1,25 pts
b
Determine el ángulo que deben formar las manecillas del reloj para que el área de dicho triángulo sea máxima ¿Cuál es el valor de dicha área máxima? Se puede utilizar el apartado a) aunque no se haya demostrado.1,25 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Gráfica de la función f(x) y la recta y=4x mostrando sus puntos de intersección en el intervalo (-1, 1).
a
Dada la función f(x)=3x1−x2f(x) = \frac{3x}{1 - x^2} definida para los valores −1<x<1-1 < x < 1, determine los puntos de corte de la recta y=4xy = 4x con la gráfica de ff.0,75 pts
b
Calcule el área del recinto limitado por la recta y=4xy = 4x y la gráfica de ff.1,75 pts
Ver este ejercicio