Matemáticas CCSS · Castilla y León 2023

Dada la matriz $A = \begin{pmatrix} a & 4 & 1 & 8 \\ -2 & b & 4 & c \end{pmatrix}$, hallar los valores $a$, $b$ y $c$ para que el rango de la matriz $A$ sea 1.

Un centro logístico está planificando el reparto de dos formatos de un producto, S y L, a una de sus tiendas. Debido a sus características, la cantidad total máxima que se puede transportar de ambos formatos a la vez es 70 unidades, pero la tienda necesita recibir del formato L, al menos, un quinto del total de unidades totales. En este momento, sólo están disponibles para enviar a la tienda un máximo de 40 unidades del formato L. Además, la tienda consigue un beneficio de 3000 euros por cada unidad vendida del formato S y de 2500 euros por cada unidad vendida del formato L. Calcular, utilizando técnicas de programación lineal, cuántas unidades hay que repartir a la tienda de cada formato para que se pueda maximizar el beneficio. ¿A cuánto ascenderá ese beneficio máximo?

Dada la función $f(x) = \ln(x^2 - 4)$, determinar su dominio de definición.

Dado el sistema con el parámetro $a$: $$\begin{cases} x + z = 1 \\ x - y + z = 0 \\ x + y + az = 0 \end{cases}$$

Para realizar un rescate, la probabilidad de llegar antes del anochecer desde el centro de emergencias situado en la localidad A es de $0{,}7$ y $0{,}4$ desde el situado en la localidad B. Se decide enviar a equipos desde ambas localidades. Si los equipos actúan de manera independiente, ¿cuál es la probabilidad de que al menos uno llegue antes del anochecer?

En una factoría los costes variables (miles de euros) vienen dados por la función: $$c(x) = 2x + 720 + \frac{80000}{x}$$ siendo $x > 0$ el número de toneladas producidas.

Consideremos la función $f(x) = \begin{cases} 6x - 1 & \text{si } x \leq 0 \\ \frac{1}{x} & \text{si } x > 0 \end{cases}$

La recaudación diaria de una tienda de deportes de determinada marca es una variable aleatoria que sigue una distribución normal de media $\mu$ euros y desviación típica de 328 euros. Se elige una muestra de 100 tiendas de dicha marca y se obtiene una recaudación diaria media de 1248 euros.

En los estudios realizados sobre un tipo de test de antígenos para detectar el SARS-COV-2 en cierta población, la probabilidad de que una persona enferma obtenga un resultado positivo es de $0{,}97$, mientras que la probabilidad de que una persona sana obtenga un resultado negativo es $0{,}90$. En el momento de probar este tipo de test de antígenos, la probabilidad de que una persona esté enferma en esa población es $0{,}04$. Si se elige una persona al azar de esa población y se le realiza este tipo de test de antígenos,