Saltar al contenido
la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSCastilla y LeónPAU 2023Extraordinaria

Matemáticas CCSS · Castilla y León 2023

9 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. OPTATIVIDAD: CADA ESTUDIANTE DEBERÁ ESCOGER TRES PROBLEMAS Y UNA CUESTIÓN Y DESARROLLARLOS COMPLETOS. CRITERIOS GENERALES DE EVALUACIÓN Cada problema se puntuará sobre un máximo de 3 puntos. Cada cuestión se puntuará sobre un máximo de 1 punto. Salvo que se especifique lo contrario, los apartados que figuran en los distintos problemas son equipuntuables. La calificación final se obtiene sumando las puntuaciones de los tres problemas y la cuestión realizados. Deben figurar explícitamente las operaciones no triviales, de modo que puedan reconstruirse la argumentación lógica y los cálculos efectuados. CALCULADORA: Podrán usarse calculadoras no programables, que no admitan memoria para texto ni para resolución de ecuaciones, ni para resolución de integrales, ni para representaciones gráficas.

Ejercicio 1 · Opción CUESTIONES

1Opción CUESTIONES
1 punto
Cuestiones
Dada la matriz A=(a418−2b4c)A = \begin{pmatrix} a & 4 & 1 & 8 \\ -2 & b & 4 & c \end{pmatrix}, hallar los valores aa, bb y cc para que el rango de la matriz AA sea 1.
Ver este ejercicio

Ejercicio 1 · Opción PROBLEMAS

1Opción PROBLEMAS
3 puntos
Problemas
Un centro logístico está planificando el reparto de dos formatos de un producto, S y L, a una de sus tiendas. Debido a sus características, la cantidad total máxima que se puede transportar de ambos formatos a la vez es 70 unidades, pero la tienda necesita recibir del formato L, al menos, un quinto del total de unidades totales. En este momento, sólo están disponibles para enviar a la tienda un máximo de 40 unidades del formato L. Además, la tienda consigue un beneficio de 3000 euros por cada unidad vendida del formato S y de 2500 euros por cada unidad vendida del formato L. Calcular, utilizando técnicas de programación lineal, cuántas unidades hay que repartir a la tienda de cada formato para que se pueda maximizar el beneficio. ¿A cuánto ascenderá ese beneficio máximo?
Ver este ejercicio

Ejercicio 2 · Opción CUESTIONES

2Opción CUESTIONES
1 punto
Cuestiones
Dada la función f(x)=ln⁡(x2−4)f(x) = \ln(x^2 - 4), determinar su dominio de definición.
Ver este ejercicio

Ejercicio 2 · Opción PROBLEMAS

2Opción PROBLEMAS
3 puntos
Problemas
Dado el sistema con el parámetro aa: {x+z=1x−y+z=0x+y+az=0\begin{cases} x + z = 1 \\ x - y + z = 0 \\ x + y + az = 0 \end{cases}
a
Clasificar el sistema en función de los distintos valores del parámetro aa.1,5 pts
b
Resolver el sistema para a=−1a = -1.1,5 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 3 · Opción CUESTIONES

3Opción CUESTIONES
1 punto
Cuestiones
Para realizar un rescate, la probabilidad de llegar antes del anochecer desde el centro de emergencias situado en la localidad A es de 0,70{,}7 y 0,40{,}4 desde el situado en la localidad B. Se decide enviar a equipos desde ambas localidades. Si los equipos actúan de manera independiente, ¿cuál es la probabilidad de que al menos uno llegue antes del anochecer?
Ver este ejercicio

Ejercicio 3 · Opción PROBLEMAS

3Opción PROBLEMAS
3 puntos
Problemas
En una factoría los costes variables (miles de euros) vienen dados por la función:c(x)=2x+720+80000xc(x) = 2x + 720 + \frac{80000}{x}siendo x>0x > 0 el número de toneladas producidas.
a
Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de los costes variables en esa factoría.1,5 pts
b
Calcular el coste variable mínimo y el número de toneladas que se han de producir para alcanzar dicho coste mínimo.1,5 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 4

4
3 puntos
Problemas
Consideremos la función f(x)={6x−1si x≤01xsi x>0f(x) = \begin{cases} 6x - 1 & \text{si } x \leq 0 \\ \frac{1}{x} & \text{si } x > 0 \end{cases}
a
Estudiar la continuidad de la función f(x)f(x) en todo su dominio. Calcular, si los tiene, los puntos de discontinuidad.1,5 pts
b
Calcular el área limitada por la función f(x)f(x) y el eje de abscisas en el intervalo [1,10][1, 10], dibujando el recinto correspondiente.1,5 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 5

5
3 puntos
Problemas
La recaudación diaria de una tienda de deportes de determinada marca es una variable aleatoria que sigue una distribución normal de media μ\mu euros y desviación típica de 328 euros. Se elige una muestra de 100 tiendas de dicha marca y se obtiene una recaudación diaria media de 1248 euros.
a
Calcular el intervalo de confianza para la media μ\mu al nivel de confianza del 99%.1,5 pts
b
¿Qué tamaño mínimo debería tener otra muestra de tiendas de dicha marca para alcanzar, con un nivel de confianza del 95%, un error máximo de 127 euros en la estimación de μ\mu?1,5 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 6

6
3 puntos
Problemas
En los estudios realizados sobre un tipo de test de antígenos para detectar el SARS-COV-2 en cierta población, la probabilidad de que una persona enferma obtenga un resultado positivo es de 0,970{,}97, mientras que la probabilidad de que una persona sana obtenga un resultado negativo es 0,900{,}90. En el momento de probar este tipo de test de antígenos, la probabilidad de que una persona esté enferma en esa población es 0,040{,}04. Si se elige una persona al azar de esa población y se le realiza este tipo de test de antígenos,
a
Calcular la probabilidad de que la persona elegida obtenga un resultado positivo.1,5 pts
b
Si el resultado del test es positivo, ¿cuál es la probabilidad de que la persona elegida esté enferma con SARS-COV-2?1,5 pts
Ver este ejercicio