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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSLa RiojaPAU 2015Extraordinaria

Matemáticas CCSS · La Rioja 2015

7 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. Contesta sólo una de las dos opciones propuestas (OPCIÓN A/OPCIÓN B).
Elige una opción

Ejercicio 1

1
1 punto
Parte A1

Responde a cuatro de las cinco preguntas de esta parte.

Consideremos el sistema de ecuaciones{(a+1)x+(a+2)y=1(a−1)x+(a+1)y=2\begin{cases} (a + 1) x + (a + 2) y = 1 \\ (a - 1) x + (a + 1) y = 2 \end{cases}donde aa es un cierto parámetro real. Determinar la solución del sistema en los casos en que sea compatible.
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Ejercicio 2

2
1 punto
Parte A1

Responde a cuatro de las cinco preguntas de esta parte.

Determinar, si existen, las asíntotas verticales y horizontales de la función f(x)=1+1x2+1x−1f(x) = 1 + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x - 1}.
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Ejercicio 3

3
1 punto
Parte A1

Responde a cuatro de las cinco preguntas de esta parte.

Sean xx e yy dos números reales positivos tal que xy=10xy = 10. ¿Cuál es el mínimo valor de 2x+5y2x + 5y?
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Ejercicio 4

4
1 punto
Parte A1

Responde a cuatro de las cinco preguntas de esta parte.

Sean A=(−21−32)A = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} e I2=(1001)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. Calcular el determinante de la matriz A−1−I2A^{-1} - I_2. (Nota: A−1A^{-1} indica la matriz inversa de la matriz AA.)
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Ejercicio 5

5
1 punto
Parte A1

Responde a cuatro de las cinco preguntas de esta parte.

De un total de ochenta obras de un conocido pintor, tres cuartas partes son óleos y el resto acuarelas. Si elegimos dos de sus cuadros al azar, calcular:
a
la probabilidad de que al menos uno de ellos sea una acuarela.0,5 pts
b
la probabilidad de que haya una única acuarela.0,5 pts
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Ejercicio 6

6
3 puntos
Parte A2
Sea la función f(x)=x(x2−3a2)+bf(x) = x(x^2 - 3a^2) + b donde aa es un parámetro real positivo.
a
Determinar el valor de los parámetros aa y bb para que la recta tangente a f(x)f(x) en el punto (5,−75)(5, -75) sea paralela a la recta y=27x+2015y = 27x + 2015.1 pt
b
Tomando a=3a = \sqrt{3} y b=0b = 0, determinar el área encerrada por las curvas y=f(x)y = f(x) e y=−f(x)y = -f(x). El área solicitada aparece sombreada en la figura siguiente.1 pt
Gráfica de las funciones f(x) y -f(x) mostrando el área sombreada entre ellas.
c
Tomando a=2a = 2 y b=1b = 1, determinar y clasificar los extremos relativos de la función f(x)f(x).1 pt
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Ejercicio 7

7
3 puntos
Parte A2
En la granja Los Tomatitos crían conejos y gallinas. La granja tiene una capacidad máxima de 600 animales, pero para que sea rentable el número mínimo de animales debe ser mayor o igual que 400. El número de conejos no puede superar los 400 y la diferencia entre gallinas y conejos no debe exceder las 400 unidades.
a
Plantea el conjunto de restricciones y determina la región factible.2 pts
b
Los conejos se venden a 3€ la unidad y las gallinas a 4€, ¿cuál es la distribución de conejos y gallinas que maximiza los ingresos?1 pt
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Ejercicio 8

8
1 punto
Parte B1

Responde a cuatro de las cinco preguntas de esta parte.

Consideremos el sistema de ecuaciones{(a+1)x+(a+2)y=1(a−1)x+(a+1)y=2\begin{cases} (a + 1) x + (a + 2) y = 1 \\ (a - 1) x + (a + 1) y = 2 \end{cases}donde aa es un cierto parámetro real. Determinar la solución del sistema en los casos en que sea compatible.
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Ejercicio 9

9
1 punto
Parte B1

Responde a cuatro de las cinco preguntas de esta parte.

Determinar, si existen, las asíntotas verticales y horizontales de la función f(x)=1+1x2+1x−1f(x) = 1 + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x - 1}.
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Ejercicio 10

10
1 punto
Parte B1

Responde a cuatro de las cinco preguntas de esta parte.

Sean xx e yy dos números reales positivos tal que xy=10xy = 10. ¿Cuál es el mínimo valor de 2x+5y2x + 5y?
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Ejercicio 11

11
1 punto
Parte B1

Responde a cuatro de las cinco preguntas de esta parte.

Sean A=(−21−32)A = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} e I2=(1001)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. Calcular el determinante de la matriz A−1−I2A^{-1} - I_2. (Nota: A−1A^{-1} indica la matriz inversa de la matriz AA.)
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Ejercicio 12

12
1 punto
Parte B1

Responde a cuatro de las cinco preguntas de esta parte.

De un total de ochenta obras de un conocido pintor, tres cuartas partes son óleos y el resto acuarelas. Si elegimos dos de sus cuadros al azar, calcular:
a
la probabilidad de que al menos uno de ellos sea una acuarela.0,5 pts
b
la probabilidad de que haya una única acuarela.0,5 pts
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Ejercicio 13

13
3 puntos
Parte B2
La empresa de dulces navideños La Soteña comercializa en sus tres tiendas tres únicos productos: polvorones, mazapanes y mazapanes con chocolate. La tabla que aparece a continuación muestra la cantidad (en kilogramos) de cada uno de los productos vendidos durante un día de la pasada campaña de Navidad y los ingresos de ese día en cada una de las tiendas.
Tienda 1Tienda 2Tienda 3
Polvorones102020
Mazapanes302030
Mazapanes con chocolate201030
Ingresos240€170€310€
a
Determinar un sistema de ecuaciones que permita conocer el precio del kilo de cada uno de los productos que comercializa la empresa.1 pt
b
Determinar el precio de cada uno de los productos.1 pt
c
Si el coste de elaboración y venta de un kilo de polvorones es 1€, el de un kilo de mazapanes es de 2€ y el de un kilo de mazapanes con chocolate es de 3€, determinar los beneficios de la empresa del día reflejado en la tabla. (Nota: Para calcular los beneficios debes aplicar que Beneficios = Ingresos - Costes.)1 pt
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Ejercicio 14

14
3 puntos
Parte B2
Se sabe que el número de pacientes diarios atendidos en el servicio de urgencias de un cierto hospital sigue una distribución normal de media 380 y desviación típica 35. Con una muestra de datos elegida al azar y un nivel de confianza al 90% se ha obtenido para la media el intervalo de confianza (371,75,388,25)(371{,}75, 388{,}25).
Datos
  • Media μ=380\mu = 380
  • Desviación típica σ=35\sigma = 35
a
Calcula el tamaño de la muestra utilizada.1,5 pts
b
Tomando una muestra de 25 días, calcula la probabilidad de que el número medio de pacientes atendidos esté entre 375 y 387.1,5 pts
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