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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSLa RiojaPAU 2015Extraordinaria

Matemáticas CCSS · La Rioja 2015

14 ejercicios

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
1 punto
Parte A1

Responde a cuatro de las cinco preguntas de esta parte.

Consideremos el sistema de ecuaciones {(a+1)x+(a+2)y=1(a−1)x+(a+1)y=2\begin{cases} (a + 1) x + (a + 2) y = 1 \\ (a - 1) x + (a + 1) y = 2 \end{cases} donde aa es un cierto parámetro real. Determinar la solución del sistema en los casos en que sea compatible.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
1 punto
Parte A1

Responde a cuatro de las cinco preguntas de esta parte.

Determinar, si existen, las asíntotas verticales y horizontales de la función f(x)=1+1x2+1x−1f(x) = 1 + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x - 1}.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
1 punto
Parte A1

Responde a cuatro de las cinco preguntas de esta parte.

Sean xx e yy dos números reales positivos tal que xy=10xy = 10. ¿Cuál es el mínimo valor de 2x+5y2x + 5y?
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
1 punto
Parte A1

Responde a cuatro de las cinco preguntas de esta parte.

Sean A=(−21−32)A = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} e I2=(1001)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. Calcular el determinante de la matriz A−1−I2A^{-1} - I_2. (Nota: A−1A^{-1} indica la matriz inversa de la matriz AA.)
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Ejercicio 5 · Opción A

5Opción A
1 punto
Parte A1

Responde a cuatro de las cinco preguntas de esta parte.

De un total de ochenta obras de un conocido pintor, tres cuartas partes son óleos y el resto acuarelas. Si elegimos dos de sus cuadros al azar, calcular:
a)0,5 pts
la probabilidad de que al menos uno de ellos sea una acuarela.
b)0,5 pts
la probabilidad de que haya una única acuarela.
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Ejercicio 6 · Opción A

6Opción A
3 puntos
Parte A2
Sea la función f(x)=x(x2−3a2)+bf(x) = x(x^2 - 3a^2) + b donde aa es un parámetro real positivo.
a)1 pts
Determinar el valor de los parámetros aa y bb para que la recta tangente a f(x)f(x) en el punto (5,−75)(5, -75) sea paralela a la recta y=27x+2015y = 27x + 2015.
b)1 pts
Tomando a=3a = \sqrt{3} y b=0b = 0, determinar el área encerrada por las curvas y=f(x)y = f(x) e y=−f(x)y = -f(x). El área solicitada aparece sombreada en la figura siguiente.
Gráfica de las funciones f(x) y -f(x) mostrando el área sombreada entre ellas.
Gráfica de las funciones f(x) y -f(x) mostrando el área sombreada entre ellas.
c)1 pts
Tomando a=2a = 2 y b=1b = 1, determinar y clasificar los extremos relativos de la función f(x)f(x).
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Ejercicio 7 · Opción A

7Opción A
3 puntos
Parte A2
En la granja Los Tomatitos crían conejos y gallinas. La granja tiene una capacidad máxima de 600 animales, pero para que sea rentable el número mínimo de animales debe ser mayor o igual que 400. El número de conejos no puede superar los 400 y la diferencia entre gallinas y conejos no debe exceder las 400 unidades.
a)2 pts
Plantea el conjunto de restricciones y determina la región factible.
b)1 pts
Los conejos se venden a 3€ la unidad y las gallinas a 4€, ¿cuál es la distribución de conejos y gallinas que maximiza los ingresos?
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Ejercicio 8 · Opción B

8Opción B
1 punto
Parte B1

Responde a cuatro de las cinco preguntas de esta parte.

Consideremos el sistema de ecuaciones {(a+1)x+(a+2)y=1(a−1)x+(a+1)y=2\begin{cases} (a + 1) x + (a + 2) y = 1 \\ (a - 1) x + (a + 1) y = 2 \end{cases} donde aa es un cierto parámetro real. Determinar la solución del sistema en los casos en que sea compatible.
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Ejercicio 9 · Opción B

9Opción B
1 punto
Parte B1

Responde a cuatro de las cinco preguntas de esta parte.

Determinar, si existen, las asíntotas verticales y horizontales de la función f(x)=1+1x2+1x−1f(x) = 1 + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x - 1}.
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Ejercicio 10 · Opción B

10Opción B
1 punto
Parte B1

Responde a cuatro de las cinco preguntas de esta parte.

Sean xx e yy dos números reales positivos tal que xy=10xy = 10. ¿Cuál es el mínimo valor de 2x+5y2x + 5y?
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Ejercicio 11 · Opción B

11Opción B
1 punto
Parte B1

Responde a cuatro de las cinco preguntas de esta parte.

Sean A=(−21−32)A = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} e I2=(1001)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. Calcular el determinante de la matriz A−1−I2A^{-1} - I_2. (Nota: A−1A^{-1} indica la matriz inversa de la matriz AA.)
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Ejercicio 12 · Opción B

12Opción B
1 punto
Parte B1

Responde a cuatro de las cinco preguntas de esta parte.

De un total de ochenta obras de un conocido pintor, tres cuartas partes son óleos y el resto acuarelas. Si elegimos dos de sus cuadros al azar, calcular:
a)0,5 pts
la probabilidad de que al menos uno de ellos sea una acuarela.
b)0,5 pts
la probabilidad de que haya una única acuarela.
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Ejercicio 13 · Opción B

13Opción B
3 puntos
Parte B2
La empresa de dulces navideños La Soteña comercializa en sus tres tiendas tres únicos productos: polvorones, mazapanes y mazapanes con chocolate. La tabla que aparece a continuación muestra la cantidad (en kilogramos) de cada uno de los productos vendidos durante un día de la pasada campaña de Navidad y los ingresos de ese día en cada una de las tiendas.
Tienda 1Tienda 2Tienda 3
Polvorones102020
Mazapanes302030
Mazapanes con chocolate201030
Ingresos240€170€310€
a)1 pts
Determinar un sistema de ecuaciones que permita conocer el precio del kilo de cada uno de los productos que comercializa la empresa.
b)1 pts
Determinar el precio de cada uno de los productos.
c)1 pts
Si el coste de elaboración y venta de un kilo de polvorones es 1€, el de un kilo de mazapanes es de 2€ y el de un kilo de mazapanes con chocolate es de 3€, determinar los beneficios de la empresa del día reflejado en la tabla. (Nota: Para calcular los beneficios debes aplicar que Beneficios = Ingresos - Costes.)
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Ejercicio 14 · Opción B

14Opción B
3 puntos
Parte B2
Se sabe que el número de pacientes diarios atendidos en el servicio de urgencias de un cierto hospital sigue una distribución normal de media 380 y desviación típica 35. Con una muestra de datos elegida al azar y un nivel de confianza al 90% se ha obtenido para la media el intervalo de confianza (371,75,388,25)(371{,}75, 388{,}25).
a)1,5 pts
Calcula el tamaño de la muestra utilizada.
b)1,5 pts
Tomando una muestra de 25 días, calcula la probabilidad de que el número medio de pacientes atendidos esté entre 375 y 387.
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