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la cuevadel empollón
Matemáticas IINavarraPAU 2019Extraordinaria

Matemáticas II · Navarra 2019

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Realiza una de las dos opciones, A o B.
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Ejercicio 1

1
3 puntos
Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real aa y resuélvelo en los casos en que es compatible:{(a+1)x−y+(1−a)z=a+1(−a−1)x+(a+1)y+(a2+a−2)z=−1(a+1)x−(a+1)y+(1−a2)z=0\begin{cases} (a + 1) x - y + (1 - a) z = a + 1 \\ (- a - 1) x + (a + 1) y + (a^2 + a - 2) z = - 1 \\ (a + 1) x - (a + 1) y + (1 - a^2) z = 0 \end{cases}
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Los puntos A≡(2,−3,2)A \equiv (2, -3, 2) y B≡(0,1,−2)B \equiv (0, 1, -2) determinan el lado desigual de un triángulo isósceles que tiene su tercer vértice en la recta de ecuación r≡x−32=y−4−1=z−4−2r \equiv \frac{x - 3}{2} = \frac{y - 4}{- 1} = \frac{z - 4}{- 2}. Calcula este vértice sabiendo que el área del triángulo vale 18 u218\,u^2.
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Demuestra que existe α∈(1,e)\alpha \in (1, e) tal que f′(α)=e+1f'(\alpha) = e + 1, siendof(x)=(x+ex−e)exf(x) = (x + ex - e)^{\frac{e}{x}}Menciona los resultados teóricos empleados y justifica su uso.
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Ejercicio 4

4
3 puntos
Encuentra los tres puntos en que se cortan las gráficas de las funciones f(x)=1+cos⁡xf(x) = 1 + \cos x y g(x)=−2x2π2+2g(x) = \frac{- 2x^2}{\pi^2} + 2. Calcula el área de la región del plano encerrada entre ambas gráficas.
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Ejercicio 1

1
2 puntos
Calcula los valores del parámetro tt para que se cumpla la condición ∣A⋅B∣=∣A+B∣|A \cdot B| = |A + B|, siendo AA y BB las siguientes matrices:A=(00t−10−ttt+11−t1) y B=(t00t+1tt+11t−1t+1)A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & t - 1 \\ 0 & - t & t \\ t + 1 & 1 - t & 1 \end{pmatrix} \text{ y } B = \begin{pmatrix} t & 0 & 0 \\ t + 1 & t & t + 1 \\ 1 & t - 1 & t + 1 \end{pmatrix}
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Ejercicio 2

2
3 puntos
Calcula la ecuación continua de la recta tt sabiendo que pasa por el punto P≡(1,−2,−1)P \equiv (1, -2, -1) y que corta a las siguientes rectas:r≡{−x+y−z−1=03y−2z+3=0ys≡x−30=y−11=z+1−1r \equiv \begin{cases} - x + y - z - 1 = 0 \\ 3y - 2z + 3 = 0 \end{cases} \quad y \quad s \equiv \frac{x - 3}{0} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 1}{- 1}
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Calcula el valor del parámetro real aa para que la siguiente función sea continua en todo R\mathbb{R}:f(x)={log⁡(x2+9)x≤1cos⁡πx2a⋅(1−x)x>1f(x) = \begin{cases} \log(x^2 + 9) & x \leq 1 \\ \frac{\cos \frac{\pi x}{2}}{a \cdot (1 - x)} & x > 1 \end{cases}
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Ejercicio 4

4
3 puntos
Demuestra que la siguiente función tiene un máximo relativo en el intervalo (−1,0)(-1, 0):f(x)=cos⁡(πx)⋅ln⁡(x2−3x+2)f(x) = \cos(\pi x) \cdot \ln(x^2 - 3x + 2)Menciona los resultados teóricos empleados y justifica su uso.
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