Matemáticas II · Navarra 2019

Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvelo en los casos en que es compatible: $$\begin{cases} (a + 1) x - y + (1 - a) z = a + 1 \\ (- a - 1) x + (a + 1) y + (a^2 + a - 2) z = - 1 \\ (a + 1) x - (a + 1) y + (1 - a^2) z = 0 \end{cases}$$

Calcula los valores del parámetro $t$ para que se cumpla la condición $|A \cdot B| = |A + B|$, siendo $A$ y $B$ las siguientes matrices: $$A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & t - 1 \\ 0 & - t & t \\ t + 1 & 1 - t & 1 \end{pmatrix} \text{ y } B = \begin{pmatrix} t & 0 & 0 \\ t + 1 & t & t + 1 \\ 1 & t - 1 & t + 1 \end{pmatrix}$$

Los puntos $A \equiv (2, -3, 2)$ y $B \equiv (0, 1, -2)$ determinan el lado desigual de un triángulo isósceles que tiene su tercer vértice en la recta de ecuación $r \equiv \frac{x - 3}{2} = \frac{y - 4}{- 1} = \frac{z - 4}{- 2}$. Calcula este vértice sabiendo que el área del triángulo vale $18\,u^2$.

Calcula la ecuación continua de la recta $t$ sabiendo que pasa por el punto $P \equiv (1, -2, -1)$ y que corta a las siguientes rectas: $$r \equiv \begin{cases} - x + y - z - 1 = 0 \\ 3y - 2z + 3 = 0 \end{cases} \quad y \quad s \equiv \frac{x - 3}{0} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 1}{- 1}$$

Demuestra que existe $\alpha \in (1, e)$ tal que $f'(\alpha) = e + 1$, siendo $$f(x) = (x + ex - e)^{\frac{e}{x}}$$ Menciona los resultados teóricos empleados y justifica su uso.

Calcula el valor del parámetro real $a$ para que la siguiente función sea continua en todo $\mathbb{R}$: $$f(x) = \begin{cases} \log(x^2 + 9) & x \leq 1 \\ \frac{\cos \frac{\pi x}{2}}{a \cdot (1 - x)} & x > 1 \end{cases}$$

Encuentra los tres puntos en que se cortan las gráficas de las funciones $f(x) = 1 + \cos x$ y $g(x) = \frac{- 2x^2}{\pi^2} + 2$. Calcula el área de la región del plano encerrada entre ambas gráficas.

Demuestra que la siguiente función tiene un máximo relativo en el intervalo $(-1, 0)$: $$f(x) = \cos(\pi x) \cdot \ln(x^2 - 3x + 2)$$ Menciona los resultados teóricos empleados y justifica su uso.