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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAndalucíaPAU 2022OrdinariaReserva A

Matemáticas II · Andalucía 2022

8 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Este examen consta de 8 ejercicios distribuidos en 2 bloques (A y B) de 4 ejercicios cada uno. c) Cada ejercicio tiene un valor máximo de 2,5 puntos. d) Se realizarán únicamente cuatro ejercicios, independientemente del bloque al que pertenezcan. En caso de responder a más de cuatro ejercicios, se corregirán únicamente los cuatro que aparezcan físicamente en primer lugar. e) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, ni gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados. f) En la puntuación máxima de cada ejercicio están contemplados 0,25 puntos para valorar la expresión correcta de los procesos y métodos utilizados.

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
Bloque A
Sea ff la función continua definida por f(x)={x2+1x−1si x≤0ax+b(x+1)2si x>0f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 + 1}{x - 1} & \text{si } x \leq 0 \\ \frac{ax + b}{(x + 1)^2} & \text{si } x > 0 \end{cases}
a
Determina aa y bb sabiendo que ff tiene un extremo relativo en el punto de abscisa x=2x = 2.1,5 pts
b
Para a=2a = 2 y b=−1b = -1, estudia la derivabilidad de ff.1 pt
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
Bloque A
Se quiere cercar un trozo de terreno como el de la figura, de modo que el área del recinto central rectangular sea de 200π\frac{200}{\pi} metros cuadrados. Sabiendo que el coste de la cerca que se puede poner en los tramos rectos es de 1010 euros por metro lineal, y en los tramos circulares de 2020 euros por metro lineal, calcula las dimensiones aa y bb del terreno para las que se minimiza el coste del cercado.
Recinto compuesto por un rectángulo central de dimensiones a y b, flanqueado por dos semicírculos en los extremos de diámetro b.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
Bloque A
Considera la función f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} definida por f(x)=exsen⁡(2x)f(x) = e^x \operatorname{sen}(2x). Halla la primitiva de ff cuya gráfica pase por el punto (0,0)(0, 0).
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
Bloque A
Considera las funciones f,g:R→Rf, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} definidas por f(x)=1−x2f(x) = 1 - x^2 y g(x)=2x2g(x) = 2x^2.
a
Calcula los puntos de corte de las gráficas de ff y gg. Esboza el recinto que delimitan.1,25 pts
b
Determina el área del recinto anterior.1,25 pts
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Ejercicio 5 · Opción B

5Opción B
2,5 puntos
Bloque B
Considera la matriz A=(1211111−1−1)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix}
a
Calcula A−1A^{-1}.1 pt
b
Calcula la matriz XX de orden tres que verifica AX+(A−X)2=X2+IAX + (A - X)^2 = X^2 + I, siendo II la matriz identidad de orden tres.1,5 pts
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Ejercicio 6 · Opción B

6Opción B
2,5 puntos
Bloque B
En un estudio del ciclo del sueño se monitoriza la fase NO-REM (es el momento del sueño que el cuerpo utiliza para descansar físicamente). Esta fase se divide a su vez en tres momentos: Fase I (adormecimiento), Fase II (sueño ligero) y Fase III (sueño profundo). Una persona dedica el 75%75\% de su sueño a la fase NO-REM. Además, el tiempo que dedica a la Fase II es el doble que el de la Fase I y III juntas. Por otro lado, a la Fase III se dedica el cuádruple que a la Fase I. Si una persona ha dormido 88 horas, ¿cuántos minutos dedica a las Fases I, II y III del ciclo del sueño?
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Ejercicio 7 · Opción B

7Opción B
2,5 puntos
Bloque B
Considera las rectas r≡{x=0z=0r \equiv \begin{cases} x = 0 \\ z = 0 \end{cases} y s≡{x+y=1x−y=1s \equiv \begin{cases} x + y = 1 \\ x - y = 1 \end{cases}
a
Determina la ecuación del plano que contiene a rr y es paralelo a ss.1,5 pts
b
Determina la ecuación del plano que contiene a rr y es perpendicular a ss.1 pt
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Ejercicio 8 · Opción B

8Opción B
2,5 puntos
Bloque B
Considera los planos π1≡x+y+2=0\pi_1 \equiv x + y + 2 = 0 y π2≡x−z−1=0\pi_2 \equiv x - z - 1 = 0, así como la recta r≡{2x+z=1y=1r \equiv \begin{cases} 2x + z = 1 \\ y = 1 \end{cases}
a
Calcula los puntos de la recta rr que equidistan de los planos π1\pi_1 y π2\pi_2.1,5 pts
b
Halla el ángulo que forman los planos π1\pi_1 y π2\pi_2.1 pt
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