Matemáticas II · Andalucía 2022

Sea $f$ la función continua definida por $f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 + 1}{x - 1} & \text{si } x \leq 0 \\ \frac{ax + b}{(x + 1)^2} & \text{si } x > 0 \end{cases}$

Se quiere cercar un trozo de terreno como el de la figura, de modo que el área del recinto central rectangular sea de $\frac{200}{\pi}$ metros cuadrados. Sabiendo que el coste de la cerca que se puede poner en los tramos rectos es de $10$ euros por metro lineal, y en los tramos circulares de $20$ euros por metro lineal, calcula las dimensiones $a$ y $b$ del terreno para las que se minimiza el coste del cercado.

Considera la función $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definida por $f(x) = e^x \operatorname{sen}(2x)$. Halla la primitiva de $f$ cuya gráfica pase por el punto $(0, 0)$.

Considera las funciones $f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definidas por $f(x) = 1 - x^2$ y $g(x) = 2x^2$.

Considera la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix}$

En un estudio del ciclo del sueño se monitoriza la fase NO-REM (es el momento del sueño que el cuerpo utiliza para descansar físicamente). Esta fase se divide a su vez en tres momentos: Fase I (adormecimiento), Fase II (sueño ligero) y Fase III (sueño profundo). Una persona dedica el $75\%$ de su sueño a la fase NO-REM. Además, el tiempo que dedica a la Fase II es el doble que el de la Fase I y III juntas. Por otro lado, a la Fase III se dedica el cuádruple que a la Fase I. Si una persona ha dormido $8$ horas, ¿cuántos minutos dedica a las Fases I, II y III del ciclo del sueño?

Considera las rectas $r \equiv \begin{cases} x = 0 \\ z = 0 \end{cases}$ y $s \equiv \begin{cases} x + y = 1 \\ x - y = 1 \end{cases}$

Considera los planos $\pi_1 \equiv x + y + 2 = 0$ y $\pi_2 \equiv x - z - 1 = 0$, así como la recta $r \equiv \begin{cases} 2x + z = 1 \\ y = 1 \end{cases}$