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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSAragónPAU 2011Extraordinaria

Matemáticas CCSS · Aragón 2011

5 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. El alumno debe responder a una de las dos opciones propuestas, A o B. En cada pregunta se señala la puntuación máxima.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Considere las matrices A=(1211)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} y B=(1224)B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}
a
Calcule una matriz XX tal que A2X=(1001)A^2 X = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.1,25 pts
b
Calcule una matriz XX tal que A+XB=(000−1)A + XB = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}.1,25 pts
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Ejercicio 2

2
1 punto
Razonar la existencia de solución del sistema lineal:{x+3y+z=6x−2y−z=52x+11y+4z=10\begin{cases} x + 3y + z = 6 \\ x - 2y - z = 5 \\ 2x + 11y + 4z = 10 \end{cases}
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Ejercicio 3

3
1,5 puntos
a
Derive las funciones f(x)=ln⁡2(1+x)f(x) = \ln^2(1 + x) y g(x)=(x(x3−x+1)2)3g(x) = \left( \frac{x}{(x^3 - x + 1)^2} \right)^3.1 pt
b
Calcule ∫12(1x−1x2)dx\int_{1}^{2} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2} \right) dx.0,5 pts
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Halle los máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función f(x)=(x−2)2(x−1)f(x) = (x - 2)^2 (x - 1). Calcule sus intervalos de crecimiento y decrecimiento así como los de concavidad y convexidad.
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Ejercicio 5

5
3 puntos
Una caja de doce bombones contiene dos de licor. Se eligen cuatro bombones al azar.
a
Calcule la probabilidad de no coger ninguno de licor.1 pt
b
Calcule la probabilidad de coger exactamente uno de licor.1 pt
c
Calcule la probabilidad de coger al menos uno de licor.1 pt
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Ejercicio 1

1
3,5 puntos
Una fábrica textil quiere fabricar pantalones y faldas. La fábrica posee dos secciones: sección de corte y sección de confección. Cada pantalón requiere 6 minutos en la sección de corte y 4 en la de confección, mientras que cada falda requiere 4 minutos en la sección de corte y 6 en la de confección. La sección de corte no puede funcionar más de 6 horas al día y la de confección no más de 8 horas al día. Si cada pantalón deja a la empresa un beneficio de 10€ y cada falda de 6€:
a
¿Cuántos pantalones y cuántas faldas se han de fabricar si se quiere maximizar el beneficio?2,5 pts
b
Si se pudiera disponer de 1 hora más de funcionamiento en la sección de corte, ¿cuál sería la respuesta al apartado anterior?1 pt
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Ejercicio 2

2
1,5 puntos
a
Derive las funciones f(x)=x3e−xf(x) = \sqrt{x^3 e^{-x}} y g(x)=(x−1x2)5g(x) = \left( x - \frac{1}{x^2} \right)^5.1 pt
b
Calcule ∫24(x2+x2)dx\int_{2}^{4} (x^{\sqrt{2}} + x^2) dx.0,5 pts
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Determine el dominio de definición de la función f(x)=ln⁡xxf(x) = \frac{\ln x}{x}. Halle sus intervalos de concavidad y convexidad así como sus puntos de inflexión.
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Ejercicio 4

4
3 puntos
El tiempo diario de conexión a internet de los alumnos de cierto instituto sigue una distribución normal con desviación típica 15 minutos. Para estimar la media del tiempo de conexión se toma una muestra y se obtiene, con un nivel de confianza del 95%, el intervalo de confianza (38 min., 46 min.). Calcular la media y el tamaño de la muestra. Detalle los pasos realizados para obtener los resultados.
Datos
  • desviación típica 1515 minutos
  • nivel de confianza del 95%95\%
  • intervalo de confianza (38 min.,46 min.)(38\,\text{min.}, 46\,\text{min.})
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