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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSAragónPAU 2011Ordinaria

Matemáticas CCSS · Aragón 2011

4 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. El alumno debe responder a una de las dos opciones propuestas, A o B. En cada pregunta se señala la puntuación máxima.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
3,5 puntos
Una perfumería desea liquidar 100 frascos de perfume y 150 barras de labios que han quedado descatalogados en sus firmas, para ello lanza dos ofertas A y B. La oferta A consiste en un lote de un frasco de perfume y una barra de labios que se vende a 30€. La oferta B consiste en un frasco de perfume y dos barras de labios, se vende a 40€. No desea ofrecer menos de 10 lotes de la oferta A ni menos de 20 de la oferta B.
a
¿Cuántos lotes ha de vender de cada tipo para maximizar la ganancia?2,5 pts
b
¿Cambiaría la respuesta al apartado a) si eliminamos el hecho de que desee ofrecer al menos 20 lotes de la oferta B?1 pt
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
a
Derive las funciones f(x)=ln⁡(1+1x)f(x) = \ln \left( 1 + \frac{1}{\sqrt{x}} \right) y g(x)=11+ex⋅1xg(x) = \frac{1}{1 + e^x} \cdot \frac{1}{x}.2 pts
b
Calcule ∫13(1x−1x)dx\int_{1}^{3} \left( \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{x} \right) dx.0,5 pts
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Halle el dominio de definición, los máximos y mínimos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f(x)=ln⁡(1−x2)f(x) = \ln(1 - x^2).
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Ejercicio 4

4
3 puntos
En el departamento textil de unos grandes almacenes se encuentran mezcladas y a la venta 100 camisetas de la marca A, 60 de la marca B y 40 de la marca C. La probabilidad de que una camiseta tenga tara es 0,010{,}01 para la marca A; 0,020{,}02 para la marca B y 0,030{,}03 para la marca C. Un comprador elige una camiseta al azar.
a
Calcule la probabilidad de que la camiseta tenga tara.1 pt
b
Calcule la probabilidad de que la camiseta sea de la marca B.1 pt
c
Sabiendo que la camiseta elegida tiene tara, ¿cuál es la probabilidad de que sea de la marca B?1 pt
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Ejercicio 1

1
2 puntos
Considere las matrices A=(111122101),B=(121111012)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}
a
Calcule la matriz inversa de la matriz B−I3B - I_3 con I3=(100010001)I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.0,75 pts
b
Calcule una matriz XX tal que BX−X=ABX - X = A.1,25 pts
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Ejercicio 2

2
1,5 puntos
Considere la matriz A=(2−1111−31−1−1)A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -3 \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix}
a
Calcule el rango de la matriz AA.0,5 pts
b
Aplicar el apartado a) para resolver el sistema lineal AX=0AX = 0.1 pt
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Ejercicio 3

3
1,5 puntos
a
Calcule las derivadas de las funciones f(x)=ln⁡x2x+3f(x) = \ln \frac{x^2}{\sqrt{x + 3}} y g(x)=1x3g(x) = \sqrt{\frac{1}{\sqrt{x^3}}}.1 pt
b
Calcule ∫01(x−e−2x)dx\int_{0}^{1} (x - e^{-2x}) dx.0,5 pts
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Estudios realizados han permitido determinar que el nivel medio diario de monóxido de carbono, COX2\ce{CO2}, en el aire en partes por millón (ppm), en una ciudad está relacionado con la población pp expresada en miles de habitantes, por la siguiente expresión C(p)=p22+17C(p) = \sqrt{\frac{p^2}{2} + 17}. La evolución del tamaño de población en esta ciudad en tt años se estima que está dado por la relación, p(t)=3,1+0,1t2p(t) = 3{,}1 + 0{,}1t^2 en miles de habitantes. ¿Con qué rapidez estará variando la concentración de COX2\ce{CO2} en esta ciudad dentro de 3 años?
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Ejercicio 5

5
3 puntos
La edad a la que obtienen el permiso de conducir los habitantes de una determinada población es una variable aleatoria que se puede aproximar por una distribución normal de media 24 años y desviación típica 4 años. Se elige aleatoriamente una muestra de 100 habitantes de dicha población. Sea X‾\overline{X} la media muestral de la edad de obtención del permiso de conducir.
a
¿Cuáles son la media y la varianza de X‾\overline{X}?1 pt
b
Halle el intervalo de confianza al 90% para X‾\overline{X}.2 pts
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