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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAndalucíaPAU 2016ExtraordinariaReserva B

Matemáticas II · Andalucía 2016

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Tienes que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B. c) La puntuación de cada pregunta está indicada en la misma. d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Se quiere construir un bote de conservas cilíndrico, con tapa, de un litro de capacidad. Calcula las dimensiones del bote para que en su construcción se utilice la menor cantidad posible de hojalata.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Calcula∫2x+12x+1+2x+1dx(sugerencia:t=2x+1).\int \frac{\sqrt{2x + 1}}{2x + 1 + \sqrt{2x + 1}} dx \quad (\text{sugerencia}: t = \sqrt{2x + 1}).
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Considera la matriz A=(k1+k1−k0)A = \begin{pmatrix} k & 1 + k \\ 1 - k & 0 \end{pmatrix}. Determina, si existen, los valores de kk en cada caso:
a
rango(A)=1\text{rango}(A) = 1.0,75 pts
b
A2=AA^2 = A.0,75 pts
c
AA tiene inversa.0,5 pts
d
det⁡(A)=−2\det(A) = -2.0,5 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Determina el punto de la recta r≡x−12=y+1=z3r \equiv \frac{x - 1}{2} = y + 1 = \frac{z}{3} que equidista de los planosπ≡x+y+z+3=0yπ′≡{x=−3+λy=−λ+μz=−6−μ\pi \equiv x + y + z + 3 = 0 \qquad \text{y} \quad \pi' \equiv \begin{cases} x = -3 + \lambda \\ y = -\lambda + \mu \\ z = -6 - \mu \end{cases}
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Sea f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} la función definida por f(x)=∣x2−4∣f(x) = |x^2 - 4|.
a
Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de ff y calcula sus extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).1,5 pts
b
Calcula la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de ff en el punto de abscisa x=1x = 1.1 pt
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Determina la función f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} tal quef′′(x)=−2sen⁡(2x),f(0)=1 y f(π2)=0.f''(x) = -2 \operatorname{sen}(2x), \quad f(0) = 1 \text{ y } f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0.
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Considera la matriz: A=(10λ+1λ1−1001)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \lambda + 1 \\ \lambda & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
a
Determina, si existen, los valores de λ\lambda para los que A−1=2I−AA^{-1} = 2I - A (siendo II la matriz identidad de orden 3).1,5 pts
b
Determina, si existen, los valores de λ\lambda para los que la matriz A+ATA + A^T no tiene inversa (ATA^T es la matriz traspuesta de AA).1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Considera el plano π\pi de ecuación 6x−my+2z=16x - my + 2z = 1 y la recta rr dada porx−1−3=y+12=z+2−1\frac{x - 1}{-3} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z + 2}{-1}
a
Calcula mm en el caso en que la recta rr es perpendicular al plano π\pi.1 pt
b
¿Existe algún valor de mm para el que la recta rr esté contenida en el plano π\pi?1,5 pts
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