Matemáticas II · Andalucía 2016

Se quiere construir un bote de conservas cilíndrico, con tapa, de un litro de capacidad. Calcula las dimensiones del bote para que en su construcción se utilice la menor cantidad posible de hojalata.

Sea $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ la función definida por $f(x) = |x^2 - 4|$.

Calcula $$\int \frac{\sqrt{2x + 1}}{2x + 1 + \sqrt{2x + 1}} dx \quad (\text{sugerencia}: t = \sqrt{2x + 1}).$$

Determina la función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tal que $$f''(x) = -2 \operatorname{sen}(2x), \quad f(0) = 1 \text{ y } f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0.$$

Considera la matriz $A = \begin{pmatrix} k & 1 + k \\ 1 - k & 0 \end{pmatrix}$. Determina, si existen, los valores de $k$ en cada caso:

Considera la matriz: $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \lambda + 1 \\ \lambda & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Determina el punto de la recta $r \equiv \frac{x - 1}{2} = y + 1 = \frac{z}{3}$ que equidista de los planos $$\pi \equiv x + y + z + 3 = 0 \qquad \text{y} \quad \pi' \equiv \begin{cases} x = -3 + \lambda \\ y = -\lambda + \mu \\ z = -6 - \mu \end{cases}$$

Considera el plano $\pi$ de ecuación $6x - my + 2z = 1$ y la recta $r$ dada por $$\frac{x - 1}{-3} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z + 2}{-1}$$