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la cuevadel empollón
Matemáticas IICastilla y LeónPAU 2019Extraordinaria

Matemáticas II · Castilla y León 2019

5 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. 1.- OPTATIVIDAD: El alumno deberá escoger una de las dos opciones, pudiendo desarrollar los cinco ejercicios de la misma en el orden que desee. 2.- CALCULADORA: Se permitirá el uso de calculadoras no programables (que no admitan memoria para texto ni representaciones gráficas).
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2 puntos
Considere el sistema de ecuaciones lineales.
a
Discutir según los valores del parámetro mm el sistema de ecuaciones lineales{x+y−z=12x+y+mz=4\begin{cases} x + y - z = 1 \\ 2x + y + mz = 4 \end{cases}1 pt
b
Resolverlo para m=1m = 1.1 pt
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Operaciones con vectores en el espacio.
a
Consideremos los vectores u⃗=(1,1,a)\vec{u} = (1, 1, a) y v⃗=(1,−1,a)\vec{v} = (1, -1, a). Calcular aa para que sean perpendiculares.0,5 pts
b
Calcular un vector unitario perpendicular a los vectores p⃗=(1,2,3)\vec{p} = (1, 2, 3) y q⃗=(1,−2,−3)\vec{q} = (1, -2, -3).1,5 pts
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Dada la función f(x)={−x2−2x,si x<0x2−4x,si x≥0f(x) = \begin{cases} -x^2 - 2x, & \text{si } x < 0 \\ x^2 - 4x, & \text{si } x \geq 0 \end{cases}
a
Probar que posee un máximo relativo en −1-1 y un mínimo relativo en 22.1,4 pts
b
Probar que no posee extremo relativo en 00.0,6 pts
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Cálculo de límites y áreas.
a
Calcular lim⁡x→0sen⁡xex−cos⁡x\lim_{x \to 0} \frac{\sen x}{e^x - \cos x}1 pt
b
Calcular aa, siendo a>1a > 1, para que el área de la región del plano comprendida entre las gráficas de las funciones f(x)=xf(x) = x, g(x)=axg(x) = ax y x=1x = 1 sea 11.1 pt
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Ejercicio 5

5
2 puntos
La temperatura del cuerpo humano sigue una distribución normal de media 37∘C37^{\circ}\text{C} y desviación típica 0,5∘C0{,}5^{\circ}\text{C}.
a
Calcular la probabilidad de que la temperatura de una persona esté comprendida entre 36∘C36^{\circ}\text{C} y 38∘C38^{\circ}\text{C}.1 pt
b
Calcular la probabilidad de que la temperatura de una persona sea menor que 36,5∘C36{,}5^{\circ}\text{C}.1 pt
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Ejercicio 1

1
2 puntos
Dadas las matrices A=(101−110)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}, M=(x0y1x−y1)M = \begin{pmatrix} x & 0 \\ y & 1 \\ x - y & 1 \end{pmatrix} y N=(1−1−12)N = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}, calcular los valores de xx e yy para que el producto A⋅MA \cdot M sea igual a la inversa de la matriz NN.
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Hallar aa y bb para que los vectores (a,−1,2)(a, -1, 2) y (1,b,−2)(1, b, -2) sean perpendiculares y las dos primeras coordenadas de su producto vectorial sean iguales.
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Teorema de Rolle y raíces de funciones.
a
Enunciar el teorema de Rolle.1 pt
b
Indicar un punto en el que la función f(x)=2x−sen⁡xf(x) = 2x - \sen x tome el valor 00, y demostrar (o bien usando el teorema del apartado previo o bien con algún otro razonamiento) que esta función sólo se anula en ese punto.1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Determínense los valores de aa y de bb para los cuales la función definida por:f(x)={a+cos⁡x,si x≤0x2−2bx+1,si x>0f(x) = \begin{cases} a + \cos x, & \text{si } x \leq 0 \\ x^2 - 2bx + 1, & \text{si } x > 0 \end{cases}es continua y verifica que ∫01f(x)dx=13\int_{0}^{1} f(x) dx = \frac{1}{3}.
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Ejercicio 5

5
2 puntos
En una empresa de alquiler de vehículos con conductor: • Trabajan 50 conductores de menos de 45 años, de los cuales 15 hablan inglés. • Trabajan 30 conductores de entre 45 y 55 años, de los cuales 6 hablan inglés. • Trabajan 20 conductores de más de 55 años, de los cuales 3 hablan inglés. Considerando los sucesos: A="tener menos de 45 an˜os"A = \text{"tener menos de 45 años"}, B="tener entre 45 y 55 an˜os"B = \text{"tener entre 45 y 55 años"}, C="tener maˊs de 55 an˜os"C = \text{"tener más de 55 años"} e I="hablar ingleˊs"I = \text{"hablar inglés"}:
a
Calcular P(I/A)P(I/A), P(I/B)P(I/B) y P(I/C)P(I/C).0,9 pts
b
Si se elige al azar un conductor, y éste habla inglés, ¿cuál es la probabilidad de que tenga menos de 45 años?1,1 pts
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