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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSMadridPAU 2015Ordinaria

Matemáticas CCSS · Madrid 2015

5 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. Después de leer atentamente todas las preguntas, el alumno deberá escoger una de las dos opciones propuestas y responder a las cuestiones de la opción elegida. Para la realización de esta prueba se puede utilizar calculadora científica, siempre que no disponga de capacidad de representación gráfica o de cálculo simbólico. CALIFICACIÓN: Cada pregunta se valorará sobre 2 puntos. TIEMPO: 90 minutos.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2 puntos
Se considera el sistema de ecuaciones dependiente del parámetro real aa:{3x+y−z=82x+az=3x+y+z=2\begin{cases} 3x + y - z = 8 \\ 2x + az = 3 \\ x + y + z = 2 \end{cases}
a
Discútase en función de los valores del parámetro aa.1 pt
b
Resuélvase para a=1a = 1.1 pt
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Sabiendo que la derivada de una función real de variable real ff esf′(x)=3x2+2xf'(x) = 3x^2 + 2x
a
Calcúlese la expresión de f(x)f(x) sabiendo que su gráfica pasa por el punto (1,4)(1, 4).1 pt
b
Calcúlese la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función ff en el punto (1,4)(1, 4).1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Sean las funciones reales de variable realf(x)=x2−6xyg(x)=x−10f(x) = x^2 - 6x \quad y \quad g(x) = x - 10
a
Represéntense gráficamente las funciones ff y gg.1 pt
b
Calcúlese el área del recinto plano acotado por las gráficas de las funciones ff y gg.1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
En una bolsa hay cuatro bolas rojas y una verde. Se extraen de forma consecutiva y sin reemplazamiento dos bolas. Calcúlese la probabilidad de que:
a
Las dos bolas sean del mismo color.1 pt
b
La primera bola haya sido verde si la segunda bola extraída es roja.1 pt
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Ejercicio 5

5
2 puntos
El tiempo de reacción ante un obstáculo imprevisto de los conductores de automóviles de un país, en milisegundos (ms), se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media μ\mu desconocida y desviación típica σ=250\sigma = 250 ms.
a
Se toma una muestra aleatoria simple y se obtiene un intervalo de confianza (701;799)(701; 799), expresado en ms, para μ\mu con un nivel del 95%95 \%. Calcúlese la media muestral y el tamaño de la muestra elegida.1 pt
b
Se toma una muestra aleatoria simple de tamaño 2525. Calcúlese el error máximo cometido en la estimación de μ\mu mediante la media muestral con un nivel de confianza del 80%80 \%.1 pt
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Ejercicio 1

1
2 puntos
Una fábrica de piensos para animales produce diariamente como mucho seis toneladas de pienso del tipo A y como máximo cuatro toneladas de pienso del tipo B. Además, la producción diaria de pienso del tipo B no puede superar el doble de la del tipo A y, por último, el doble de la fabricación de pienso del tipo A sumada con la del tipo B debe ser como poco cuatro toneladas diarias. Teniendo en cuenta que el coste de fabricación de una tonelada de pienso del tipo A es de 10001000 euros y el de una tonelada del tipo B de 20002000 euros, ¿cuál es la producción diaria para que la fábrica cumpla con sus obligaciones con un coste mínimo? Calcúlese dicho coste diario mínimo.
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Sea la matrizA=(220032−1k2)A = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 2 \\ -1 & k & 2 \end{pmatrix}
a
Estúdiese el rango de AA según los valores del parámetro real kk.1 pt
b
Calcúlese, si existe, la matriz inversa de AA para k=3k = 3.1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Se considera la función real de variable real definida por:f(x)={x2−4x2−5x+6si x<23x+msi x≥2f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 4}{x^2 - 5x + 6} & \text{si } x < 2 \\ 3x + m & \text{si } x \geq 2 \end{cases}
a
Calcúlese el valor del parámetro real mm para que la función ff sea continua en x=2x = 2.1 pt
b
Calcúlense lim⁡x→−∞f(x)\lim_{x \to -\infty} f(x) y lim⁡x→+∞f(x)\lim_{x \to +\infty} f(x).1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Sean AA y BB sucesos de un experimento aleatorio tales que P(A∩B)=0,3P(A \cap B) = 0{,}3; P(A∩B‾)=0,2P(A \cap \overline{B}) = 0{,}2 y P(B)=0,7P(B) = 0{,}7. Calcúlese:
Datos
  • S‾\overline{S} denota el suceso complementario del suceso SS
a
P(A∪B)P(A \cup B)1 pt
b
P(B∣A‾)P(B | \overline{A})1 pt
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Ejercicio 5

5
2 puntos
La duración de cierto componente electrónico, en horas (h), se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media μ\mu desconocida y desviación típica igual a 10001000 h.
a
Se ha tomado una muestra aleatoria simple de esos componentes electrónicos de tamaño 8181 y la media muestral de su duración ha sido x‾=8000\overline{x} = 8000 h. Calcúlese un intervalo de confianza al 99%99 \% para μ\mu.1 pt
b
¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral esté comprendida entre 79047904 y 82968296 horas para una muestra aleatoria simple de tamaño 100100 si sabemos que μ=8100\mu = 8100 h?1 pt
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