Saltar al contenido
la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSMadridPAU 2019Extraordinaria

Matemáticas CCSS · Madrid 2019

5 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. Después de leer atentamente todas las preguntas, el alumno deberá escoger una de las dos OPCIONES propuestas y responder razonadamente a las cuestiones de la opción elegida. Para la realización de esta prueba se puede utilizar calculadora, siempre que no tenga NINGUNA de las características siguientes: posibilidad de transmitir datos, ser programable, pantalla gráfica, almacenamiento de datos alfanuméricos, operaciones con matrices, cálculo de determinantes, cálculo de derivadas, cálculo de integrales o resolución de ecuaciones. Cualquiera que tenga una de estas características será retirada.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2 puntos
Sean las matricesA=(a421a0121),B=(913)A = \begin{pmatrix} a & 4 & 2 \\ 1 & a & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 9 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}
a
Calcúlense los valores de aa para los cuales la matriz AA no tiene matriz inversa.1 pt
b
Para a=3a = 3, calcúlese la matriz inversa de AA y resuélvase la ecuación matricial A⋅X=BA \cdot X = B.1 pt
Ver este ejercicio

Ejercicio 2

2
2 puntos
Se considera la función real de variable real f(x)=2x3−8xf(x) = 2x^3 - 8x.
a
Determínese en qué puntos la tangente a la curva y=f(x)y = f(x) es horizontal.1 pt
b
Calcúlese el área de la región acotada del plano delimitada por la gráfica de ff, el eje de abscisas y las rectas x=0x = 0, x=2x = 2.1 pt
Ver este ejercicio

Ejercicio 3

3
2 puntos
Se considera la función real de variable realf(x)={x3x2−9si x<3,x2−4si x≥3.f(x) = \begin{cases} \frac{x^3}{x^2 - 9} & \text{si } x < 3, \\ x^2 - 4 & \text{si } x \geq 3. \end{cases}
a
Estúdiese la continuidad de ff.1 pt
b
Determínese si ff tiene asíntotas horizontales, verticales u oblicuas.1 pt
Ver este ejercicio

Ejercicio 4

4
2 puntos
Los escolares de un cierto colegio de Madrid fueron encuestados acerca de su alimentación y de su ejercicio físico. Una proporción de 2/52/5 hacían ejercicio regularmente y 2/32/3 siempre desayunaban. Además, entre los que siempre desayunan, una proporción de 9/259/25 hacían ejercicio regularmente. Se elige al azar un escolar de ese colegio.
a
¿Es independiente que siempre desayune y que haga ejercicio regularmente?1 pt
b
Calcúlese la probabilidad de que no siempre desayune y no haga ejercicio regularmente.1 pt
Ver este ejercicio

Ejercicio 5

5
2 puntos
Una máquina rellena paquetes de harina. El peso de la harina en cada paquete se puede aproximar por una distribución normal de media μ\mu y desviación típica 2525 gramos.
a
Se analiza el peso del contenido de 1515 paquetes. La media muestral de estos pesos resulta ser 560560 gramos. Determínese un intervalo de confianza con un nivel del 95%95\% para la media poblacional.1 pt
b
Se sabe que la media poblacional del peso de la harina de un paquete es 560560 gramos. Calcúlese la probabilidad de que la media muestral no sea menor que 565565 gramos para una muestra de 5050 paquetes.1 pt
Ver este ejercicio

Ejercicio 1

1
2 puntos
Un alcalde quiere instalar un estanque rectangular en un parque de la ciudad con las siguientes características. El estanque deberá tener al menos 22 metros de ancho y al menos 55 metros de largo. Además su largo debe ser al menos 22 veces su ancho pero no más de tres veces su ancho. Cada metro del ancho del estanque cuesta 10001000 euros y cada metro de largo 500500 euros. Y se cuenta con un presupuesto de 90009000 euros.
a
Determínese la región del plano delimitada por las restricciones anteriores sobre las dimensiones del estanque.1 pt
b
Si se desea que el estanque respetando esas características tenga el mayor ancho posible, determínense el largo del estanque y su coste.1 pt
Ver este ejercicio

Ejercicio 2

2
2 puntos
Se considera la matrizA=(3810212436)A = \begin{pmatrix} 3 & 8 & 10 \\ 2 & 1 & 2 \\ 4 & 3 & 6 \end{pmatrix}y la matriz BB es tal que(AB)−1=12(03−10−112−3−3)(AB)^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & 3 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 2 & -3 & -3 \end{pmatrix}
a
Calcúlese A−1A^{-1}.1 pt
b
Calcúlese B−1B^{-1}.1 pt
Ver este ejercicio

Ejercicio 3

3
2 puntos
Se considera la función real de variable real definida por f(x)=x3+x2−5x+3f(x) = x^3 + x^2 - 5x + 3.
a
Determínense los puntos de corte con los ejes de coordenadas así como los límites de la función cuando xx tiende a infinito y a menos infinito.1 pt
b
Determínense los valores de xx en los que la pendiente de la recta tangente a la función es igual a 33.1 pt
Ver este ejercicio

Ejercicio 4

4
2 puntos
Sean AA y BB dos sucesos con P(A)=0,3P(A) = 0{,}3, P(B∣A)=0,4P(B|A) = 0{,}4, P(B∣A‾)=0,6P(B|\overline{A}) = 0{,}6. Calcúlese:
Datos
  • S‾\overline{S} denota al suceso complementario del suceso SS
a
P(A∣B)P(A|B)1 pt
b
P(A‾∣B‾)P(\overline{A}|\overline{B})1 pt
Ver este ejercicio

Ejercicio 5

5
2 puntos
Para estudiar el absentismo laboral injustificado, se desea estimar la proporción de trabajadores, PP, que no acuden a su puesto de trabajo sin justificación al menos un día al año.
a
Sabiendo que la proporción poblacional de absentismo laboral injustificado es P=0,22P = 0{,}22, determínese el tamaño mínimo necesario de una muestra de trabajadores para garantizar que, con una confianza del 99%99\%, el margen de error en la estimación no supera el 4%4\%.1 pt
b
Tomada al azar una muestra de 10001000 trabajadores, se encontró que 250250 había faltado injustificadamente a su puesto de trabajo al menos una vez al año. Determínese un intervalo de confianza al 95%95\% para la proporción de individuos que se ausentan en el trabajo al menos una vez al año sin ninguna justificación.1 pt
Ver este ejercicio