Saltar al contenido
la cuevadel empollón
Matemáticas IICataluñaPAU 2023Ordinaria

Matemáticas II · Cataluña 2023

6 ejercicios

Instrucciones

Responeu a QUATRE de les sis qüestions següents. En les respostes, expliqueu sempre què voleu fer i per què. Cada qüestió val 2,5 punts. Podeu utilitzar calculadora, però no es permet l'ús de calculadores o altres aparells que poden emmagatzemar dades o que poden transmetre o rebre informació.

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Calculeu els coeficients a, b, c i d de la funció f(x) = ax³ + bx² + cx + d si sabem que l'equació de la recta tangent a la gràfica de la funció f en el punt d'inflexió (1, 0) és y = −3x + 3 i que la funció té un extrem relatiu en el punt de la gràfica d'abscissa x = 0.
Ver este ejercicio

Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Considereu les dues matrius següents: A = [[2, −3, −5], [−1, 4, 5], [1, −3, −4]] i B = [[2, 2, 0], [−1, −1, 0], [1, 2, 1]].
a
Calculeu les matrius A · B i B · A.1,5 pts
b
Siguin C i D dues matrius quadrades del mateix ordre que satisfan C · D = C i D · C = D. Comproveu que les dues matrius, C i D, són idempotents. NOTA: Una matriu quadrada s'anomena idempotent si coincideix amb el seu quadrat.1 pt
Ver este ejercicio

Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Sigui f'(x) = {x − 1, si x ≤ 2; 1/(x − 1), si x > 2} la funció derivada d'una funció derivable f(x) que passa pel punt A = (0, 3).
a
Calculeu la funció f(x).1,5 pts
b
Calculeu l'equació de la recta tangent a la funció f'(x) en el punt d'abscissa x = 3.1 pt
Ver este ejercicio

Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Sigui el sistema d'equacions lineals següent, que depèn del paràmetre real λ: {x + 2λy + (2 + λ)z = 0; (2 + λ)x + y + 2λz = 3; 2λx + (2 + λ)y + z = −3}.
a
Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre λ.1,25 pts
b
Per al cas λ = −1, resoleu el sistema, interpreteu-lo geomètricament i identifiqueu-ne la solució.1,25 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 5

5
2,5 puntos
La Núria té un jardí rectangular i vol fer-hi un tancat (rectangular o quadrat) de 8 m² per al seu gos. Ha pensat de posar el tancat tocant al mur del jardí, tal com es mostra a la figura de la dreta, per estalviar-se així un dels quatre costats. El preu de la tanca que vol fer servir és de 2,5 €/m.
a
Quines dimensions ha de tenir el tancat perquè el cost sigui mínim? Quin és aquest cost mínim?1,75 pts
b
Si manteniu la forma rectangular o quadrada del tancat i feu que un dels vèrtexs del jardí coincideixi amb un vèrtex del tancat, quants euros us podeu estalviar? Raoneu com posaríeu el tancat i justifiqueu amb càlculs matemàtics les dimensions de la vostra proposta.0,75 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 6

6
2,5 puntos
Siguin els plans π₁ i π₂, determinats respectivament per les equacions π₁: x + y = 3 i π₂: x − z = −2.
a
Trobeu l'equació general (Ax + By + Cz + D = 0) del pla π₃, que és perpendicular a π₁ i π₂, i que passa pel punt P = (4, 1, 2).0,75 pts
b
Sigui r la recta d'intersecció de π₁ i π₂. Calculeu l'equació vectorial de la recta r.0,75 pts
c
Calculeu el punt Q de la recta r que és més a prop del punt P.1 pt
Ver este ejercicio