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la cuevadel empollón
Matemáticas IICastilla y LeónPAU 2026Ordinaria

Matemáticas II · Castilla y León 2026

4 ejercicios

Instrucciones

Tiempo
No lo indica el examen
Qué responder
Responde al problema 3, obligatorio, y elige un problema de cada uno de los apartados 1, 2 y 4. En total, un máximo de cuatro problemas.
Puntuación
Cada problema vale 2,5 puntos. La puntuación de cada apartado figura en el enunciado.
Material
Calculadora científica no programable, sin memoria para texto, resolución de ecuaciones, cálculo matricial, resolución de integrales, representaciones gráficas ni conexión a internet.
Además
Da respuestas numéricas exactas o con tres dígitos decimales y muestra las operaciones no triviales. Si respondes a los dos problemas de un apartado, solo se corrige el primero que no esté totalmente tachado, según el orden de pliegos y hojas. Los errores ortográficos repetidos cuentan una sola vez; los dos primeros no penalizan y desde el tercero se descuentan 0,1 puntos por error. Por redacción, presentación, incoherencia o incorrección léxica o gramatical se puede descontar hasta medio punto. La deducción global máxima es de un punto.

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Apartado 1

elegir UN problema

Considerar el siguiente sistema de ecuaciones:{(m−10)x−2y−z=−17x+(m+2)y+2z=m+15x+2y+z=1,\begin{cases}(m-10)x-2y-z=-1\\7x+(m+2)y+2z=m+1\\5x+2y+z=1\end{cases},donde m∈Rm\in\mathbb{R}.
a
Discutir el sistema de ecuaciones según los valores del parámetro mm.1,5 pts
b
Resolver, razonadamente, el sistema de ecuaciones para m=3m=3.1 pt
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elegir UN problema

(Propuesto en Galicia, Modelo 0 de 2025)
a
Calcular AA si (AB)t=(1021)(AB)^t=\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix} y B=(11−11)B=\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}.1 pt
b
Si M=(3xyz)M=\begin{pmatrix}3&x\\y&z\end{pmatrix} es invertible, calcula x,y,zx,y,z sabiendo que (3z)M−1+I=(20−14)(3z)M^{-1}+I=\begin{pmatrix}2&0\\-1&4\end{pmatrix}. Entiéndase que II es la matriz identidad.1,5 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Apartado 2

elegir UN problema

a
Calcular ∫01x3−5x dx\int_0^1\frac{x^3-5}{\sqrt{x}}\,dx.1,25 pts
b
Probar que la función f(x)=2−exf(x)=2-e^x posee una sola raíz real, encontrando un intervalo que la contenga.1,25 pts
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elegir UN problema

a
Dada la función f(x)=11+exf(x)=\frac{1}{1+e^x}. Determinar su dominio de definición, su monotonía y sus asíntotas. Justifica la existencia o no de extremos relativos.1,5 pts
b
Calcular ∫0π2sen⁡(x)cos⁡(x) dx\int_0^{\frac{\pi}{2}}\operatorname{sen}(x)\cos(x)\,dx.1 pt
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Apartado 3
Dados el plano π1≡2x−3y+z=a\pi_1\equiv 2x-3y+z=a y el plano π2\pi_2 determinado por el punto P(0,2,4)P(0, 2, 4) y los vectores directores v⃗1=(0,2,6)\vec{v}_1=(0, 2, 6) y v⃗2=(1,0,b)\vec{v}_2=(1, 0, b), se pide:
a
Calcular los valores de aa y bb para que π1\pi_1 y π2\pi_2 sean paralelos y distintos.0,75 pts
b
Para a=1a=1 y b=0b=0 determinar las ecuaciones paramétricas de la recta intersección de π1\pi_1 y π2\pi_2.0,75 pts
c
Para a=4a=4 y b=−2b=-2 determinar los puntos que están a igual distancia de π1\pi_1 y π2\pi_2.1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Apartado 4

elegir UN problema

Una empresa fabrica móviles de tres marcas distintas: AA, NN y MM. El 20%20\% de los móviles son de la marca AA y el 40%40\% de la marca NN. Se decide instalar un software oculto que permita espiar a los usuarios de estos móviles. El software oculto se instala en el 15%15\% de los móviles de la marca AA, en un 10%10\% de la marca NN y en un 12%12\% de los móviles de la marca MM. Se pide:
a
Describir todas las probabilidades, condicionadas y no condicionadas, que se deducen directamente del enunciado.0,3 pts
b
Determinar la probabilidad de que un móvil fabricado por esta empresa tenga instalado el software espía.1 pt
c
Si un móvil fabricado por esta empresa tiene instalado el software espía, calcular la probabilidad de que sea de la marca AA.1,2 pts
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elegir UN problema

De una bolsa de 2020 fichas numeradas del 11 al 2020 se extraen sucesivamente 22 fichas sin reemplazamiento. Se pide:
a
Calcular la probabilidad de que ambos números sean múltiplos de 33.0,5 pts
b
Calcular la probabilidad de que el primer número sea múltiplo de 66 y el segundo sea múltiplo de 33.0,75 pts
c
Calcular la probabilidad de que ninguno de los dos números sean múltiplos de 22.0,75 pts
d
Calcular la probabilidad de que la segunda ficha sea un numero impar, sabiendo que la primera también lo ha sido.0,5 pts
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