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la cuevadel empollón
Matemáticas IIGaliciaPAU 2002Ordinaria

Matemáticas II · Galicia 2002

16 ejercicios

Instrucciones

El alumno debe responder a cuatro preguntas. Una sola pregunta de cada un de los cuatro bloques temáticos: Álgebra, Geometría, Análisis Matemático y Estadística. La puntuación máxima de cada pregunta es 2,5 puntos. Solamente se puntuará la primera pregunta respondida de cada uno de los cuatro bloques temáticos. No se puntuarán respuestas (Sí o No) que no vengan acompañadas de una justificación.

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
Álgebra

Responda a una de las dos preguntas.

a
Definición de producto de matrices.1,5 pts
b
Dadas tres matrices AA, BB y CC se sabe que A⋅B⋅CA \cdot B \cdot C es una matriz de orden 2×32 \times 3 y que B⋅CB \cdot C es una matriz de orden 4×34 \times 3, ¿cuál es el orden de AA? Justifíquelo.1 pt
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
Álgebra

Responda a una de las dos preguntas.

a
Enunciado del teorema de Rouché-Frobenius.1 pt
b
¿Es compatible determinado el sistema de ecuaciones {3x+2z=25x+2y=1x−2y+4z=3\begin{cases} 3x + 2z = 2 \\ 5x + 2y = 1 \\ x - 2y + 4z = 3 \end{cases}? Justifique su respuesta. Como consecuencia de su respuesta anterior, justifique si tiene una, ninguna o más de una solución ese sistema.1,5 pts
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
Geometría

Responda a una de las dos preguntas.

Halle la distancia del plano π:4x−10y+2z=−1\pi : 4x - 10y + 2z = -1 al plano {x=2λ+3μy=λ+μz=λ−μ\begin{cases} x = 2\lambda + 3\mu \\ y = \lambda + \mu \\ z = \lambda - \mu \end{cases}.
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
Geometría

Responda a una de las dos preguntas.

Determine el vector (o vectores) unitarios, v⃗=(a,b,c)\vec{v} = (a, b, c) (con a>0,b>0,c>0a > 0, b > 0, c > 0) que forman un ángulo de π6\frac{\pi}{6} radianes con el vector u⃗=(1,1,1)\vec{u} = (1, 1, 1) y un ángulo de π4\frac{\pi}{4} radianes con w⃗=(2,0,2)\vec{w} = (2, 0, 2).
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Ejercicio 5 · Opción A

5Opción A
2,5 puntos
Análisis matemático

Responda a una de las dos preguntas.

Dibuje la gráfica de f(x)=∣x2−4∣f(x) = |x^2 - 4| en el intervalo [−3,3][-3, 3] y calcule su integral en ese intervalo.
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Ejercicio 6 · Opción A

6Opción A
2,5 puntos
Análisis matemático

Responda a una de las dos preguntas.

Dada F(x)=x2−2x+2x−4F(x) = \frac{x^2 - 2x + 2}{x - 4}, escriba la ecuación de la secante a FF que une los puntos (−2,F(−2))(-2, F(-2)) y (2,F(2))(2, F(2)). ¿Existe un punto cc en el intervalo [−2,2][-2, 2] verificando que la tangente a la gráfica de FF en (c,F(c))(c, F(c)) es paralela a la secante que halló? En caso afirmativo razone su respuesta y calcule cc, en caso negativo razone por qué no existe.
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Ejercicio 7 · Opción A

7Opción A
2,5 puntos
Estadística

Responda a una de las dos preguntas.

a
Función de distribución de una variable aleatoria continua. Propiedades.1 pt
b
Si XX es una variable aleatoria continua que sigue una distribución normal de media μ\mu y desviación típica σ\sigma, calcule P(X≤μ)P(X \leq \mu). ¿Qué porcentaje de observaciones se encuentra en el intervalo (μ−σ,μ+σ)(\mu - \sigma, \mu + \sigma)?1,5 pts
Datos
  • Si ZZ es una variable con distribución N(0,1)N(0,1), entonces P(Z≤1)=0,84P(Z \leq 1) = 0{,}84
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Ejercicio 8 · Opción A

8Opción A
2,5 puntos
Estadística

Responda a una de las dos preguntas.

a
Función de probabilidad de una variable aleatoria binomial. Media y varianza de una variable aleatoria binomial.1,5 pts
b
Determine los parámetros de una variable aleatoria binomial de la que se sabe que su media es 12 y su desviación típica es 40,34\sqrt{0{,}3}.1 pt
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Ejercicio 9 · Opción B

9Opción B
2,5 puntos
Álgebra

Responda a una de las dos preguntas.

Discuta el siguiente sistema de ecuaciones según el valor de α\alpha y resuélvalo en el caso en que sea compatible indeterminado:{x+y+z=α−1αx+2y+z=αx+y+αz=1\begin{cases} x + y + z = \alpha - 1 \\ \alpha x + 2y + z = \alpha \\ x + y + \alpha z = 1 \end{cases}
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Ejercicio 10 · Opción B

10Opción B
2,5 puntos
Álgebra

Responda a una de las dos preguntas.

Halle, si existe, una matriz XX que verifique la ecuación: B2X−BX+X=BB^2 X - BX + X = B, siendo B=(2−103)B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}.
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Ejercicio 11 · Opción B

11Opción B
2,5 puntos
Geometría

Responda a una de las dos preguntas.

a
Deduzca las ecuaciones vectorial, paramétricas e implícita (o general) de un plano determinado por un punto y dos vectores directores.1,5 pts
b
Dados los puntos P=(3,4,1)P = (3, 4, 1) y Q=(7,2,7)Q = (7, 2, 7), determine la ecuación general del plano que es perpendicular al segmento PQ‾\overline{PQ} y que pasa por el punto medio de ese segmento.1 pt
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Ejercicio 12 · Opción B

12Opción B
2,5 puntos
Geometría

Responda a una de las dos preguntas.

a
Definición e interpretación geométrica del producto vectorial de dos vectores.1 pt
b
Dados los vectores u⃗=(−2,0,4)\vec{u} = (-2, 0, 4) y v⃗=(−1,0,α)\vec{v} = (-1, 0, \alpha), ¿para qué valores de α\alpha el módulo del vector (u⃗+v⃗)×(u⃗−v⃗)(\vec{u} + \vec{v}) \times (\vec{u} - \vec{v}) vale 4?1,5 pts
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Ejercicio 13 · Opción B

13Opción B
2,5 puntos
Análisis matemático

Responda a una de las dos preguntas.

Calcule la ecuación de la recta que pasa por el punto (3,1)(3, 1) y tal que el área del triángulo formado por esta recta y los semiejes positivos coordenados sea mínima.
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Ejercicio 14 · Opción B

14Opción B
2,5 puntos
Análisis matemático

Responda a una de las dos preguntas.

Calcule el número positivo aa tal que el valor del área de la región limitada por la recta y=ay = a y la parábola y=(x−2)2y = (x - 2)^2 sea 36.
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Ejercicio 15 · Opción B

15Opción B
2,5 puntos
Estadística

Responda a una de las dos preguntas.

a
Definición de variable aleatoria. Tipos de variables aleatorias. Definición de función de masa de probabilidad de una variable aleatoria discreta.1 pt
b
Una variable aleatoria discreta XX toma los valores 2,4,6,8,102, 4, 6, 8, 10 y 1212 con probabilidades 0,1,α,β,0,3,γ0{,}1, \alpha, \beta, 0{,}3, \gamma y 0,20{,}2 respectivamente. Sabiendo que P(X<6)=0,3P(X < 6) = 0{,}3 y que P(X>6)=0,9P(X > 6) = 0{,}9, halle los valores de α,β\alpha, \beta y γ\gamma.1,5 pts
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Ejercicio 16 · Opción B

16Opción B
2,5 puntos
Estadística

Responda a una de las dos preguntas.

a
¿Qué relación existe entre la distribución binomial y la distribución normal?1 pt
b
Se sabe que el 10% de los alumnos de Bachillerato son fumadores. En base a esto, calcule la probabilidad aproximada de que, al menos, haya 310 alumnos fumadores de los 3.000 que se presentan al examen de selectividad.1,5 pts
Datos
  • Si ZZ es una variable con distribución N(0,1)N(0,1), entonces P(Z<0,578)=0,718P(Z < 0{,}578) = 0{,}718
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