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la cuevadel empollón
Matemáticas IIGaliciaPAU 2002Ordinaria

Matemáticas II · Galicia 2002

16 ejercicios

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
Álgebra

Responda a una de las dos preguntas.

a)1,5 pts
Definición de producto de matrices.
b)1 pts
Dadas tres matrices AA, BB y CC se sabe que A⋅B⋅CA \cdot B \cdot C es una matriz de orden 2×32 \times 3 y que B⋅CB \cdot C es una matriz de orden 4×34 \times 3, ¿cuál es el orden de AA? Justifíquelo.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
Álgebra

Responda a una de las dos preguntas.

a)1 pts
Enunciado del teorema de Rouché-Frobenius.
b)1,5 pts
¿Es compatible determinado el sistema de ecuaciones {3x+2z=25x+2y=1x−2y+4z=3\begin{cases} 3x + 2z = 2 \\ 5x + 2y = 1 \\ x - 2y + 4z = 3 \end{cases}? Justifique su respuesta. Como consecuencia de su respuesta anterior, justifique si tiene una, ninguna o más de una solución ese sistema.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
Geometría

Responda a una de las dos preguntas.

Halle la distancia del plano π:4x−10y+2z=−1\pi : 4x - 10y + 2z = -1 al plano {x=2λ+3μy=λ+μz=λ−μ\begin{cases} x = 2\lambda + 3\mu \\ y = \lambda + \mu \\ z = \lambda - \mu \end{cases}.
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
Geometría

Responda a una de las dos preguntas.

Determine el vector (o vectores) unitarios, v⃗=(a,b,c)\vec{v} = (a, b, c) (con a>0,b>0,c>0a > 0, b > 0, c > 0) que forman un ángulo de π6\frac{\pi}{6} radianes con el vector u⃗=(1,1,1)\vec{u} = (1, 1, 1) y un ángulo de π4\frac{\pi}{4} radianes con w⃗=(2,0,2)\vec{w} = (2, 0, 2).
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Ejercicio 5 · Opción A

5Opción A
2,5 puntos
Análisis Matemático

Responda a una de las dos preguntas.

Dibuje la gráfica de f(x)=∣x2−4∣f(x) = |x^2 - 4| en el intervalo [−3,3][-3, 3] y calcule su integral en ese intervalo.
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Ejercicio 6 · Opción A

6Opción A
2,5 puntos
Análisis Matemático

Responda a una de las dos preguntas.

Dada F(x)=x2−2x+2x−4F(x) = \frac{x^2 - 2x + 2}{x - 4}, escriba la ecuación de la secante a FF que une los puntos (−2,F(−2))(-2, F(-2)) y (2,F(2))(2, F(2)). ¿Existe un punto cc en el intervalo [−2,2][-2, 2] verificando que la tangente a la gráfica de FF en (c,F(c))(c, F(c)) es paralela a la secante que halló? En caso afirmativo razone su respuesta y calcule cc, en caso negativo razone por qué no existe.
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Ejercicio 7 · Opción A

7Opción A
2,5 puntos
Estadística

Responda a una de las dos preguntas.

a)1 pts
Función de distribución de una variable aleatoria continua. Propiedades.
b)1,5 pts
Si XX es una variable aleatoria continua que sigue una distribución normal de media μ\mu y desviación típica σ\sigma, calcule P(X≤μ)P(X \leq \mu). ¿Qué porcentaje de observaciones se encuentra en el intervalo (μ−σ,μ+σ)(\mu - \sigma, \mu + \sigma)?
Datos
  • Si ZZ es una variable con distribución N(0,1)N(0,1), entonces P(Z≤1)=0,84P(Z \leq 1) = 0{,}84
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Ejercicio 8 · Opción A

8Opción A
2,5 puntos
Estadística

Responda a una de las dos preguntas.

a)1,5 pts
Función de probabilidad de una variable aleatoria binomial. Media y varianza de una variable aleatoria binomial.
b)1 pts
Determine los parámetros de una variable aleatoria binomial de la que se sabe que su media es 12 y su desviación típica es 40,34\sqrt{0{,}3}.
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Ejercicio 9 · Opción B

9Opción B
2,5 puntos
Álgebra

Responda a una de las dos preguntas.

Discuta el siguiente sistema de ecuaciones según el valor de α\alpha y resuélvalo en el caso en que sea compatible indeterminado: {x+y+z=α−1αx+2y+z=αx+y+αz=1\begin{cases} x + y + z = \alpha - 1 \\ \alpha x + 2y + z = \alpha \\ x + y + \alpha z = 1 \end{cases}
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Ejercicio 10 · Opción B

10Opción B
2,5 puntos
Álgebra

Responda a una de las dos preguntas.

Halle, si existe, una matriz XX que verifique la ecuación: B2X−BX+X=BB^2 X - BX + X = B, siendo B=(2−103)B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}.
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Ejercicio 11 · Opción B

11Opción B
2,5 puntos
Geometría

Responda a una de las dos preguntas.

a)1,5 pts
Deduzca las ecuaciones vectorial, paramétricas e implícita (o general) de un plano determinado por un punto y dos vectores directores.
b)1 pts
Dados los puntos P=(3,4,1)P = (3, 4, 1) y Q=(7,2,7)Q = (7, 2, 7), determine la ecuación general del plano que es perpendicular al segmento PQ‾\overline{PQ} y que pasa por el punto medio de ese segmento.
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Ejercicio 12 · Opción B

12Opción B
2,5 puntos
Geometría

Responda a una de las dos preguntas.

a)1 pts
Definición e interpretación geométrica del producto vectorial de dos vectores.
b)1,5 pts
Dados los vectores u⃗=(−2,0,4)\vec{u} = (-2, 0, 4) y v⃗=(−1,0,α)\vec{v} = (-1, 0, \alpha), ¿para qué valores de α\alpha el módulo del vector (u⃗+v⃗)×(u⃗−v⃗)(\vec{u} + \vec{v}) \times (\vec{u} - \vec{v}) vale 4?
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Ejercicio 13 · Opción B

13Opción B
2,5 puntos
Análisis Matemático

Responda a una de las dos preguntas.

Calcule la ecuación de la recta que pasa por el punto (3,1)(3, 1) y tal que el área del triángulo formado por esta recta y los semiejes positivos coordenados sea mínima.
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Ejercicio 14 · Opción B

14Opción B
2,5 puntos
Análisis Matemático

Responda a una de las dos preguntas.

Calcule el número positivo aa tal que el valor del área de la región limitada por la recta y=ay = a y la parábola y=(x−2)2y = (x - 2)^2 sea 36.
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Ejercicio 15 · Opción B

15Opción B
2,5 puntos
Estadística

Responda a una de las dos preguntas.

a)1 pts
Definición de variable aleatoria. Tipos de variables aleatorias. Definición de función de masa de probabilidad de una variable aleatoria discreta.
b)1,5 pts
Una variable aleatoria discreta XX toma los valores 2,4,6,8,102, 4, 6, 8, 10 y 1212 con probabilidades 0,1,α,β,0,3,γ0{,}1, \alpha, \beta, 0{,}3, \gamma y 0,20{,}2 respectivamente. Sabiendo que P(X<6)=0,3P(X < 6) = 0{,}3 y que P(X>6)=0,9P(X > 6) = 0{,}9, halle los valores de α,β\alpha, \beta y γ\gamma.
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Ejercicio 16 · Opción B

16Opción B
2,5 puntos
Estadística

Responda a una de las dos preguntas.

a)1 pts
¿Qué relación existe entre la distribución binomial y la distribución normal?
b)1,5 pts
Se sabe que el 10% de los alumnos de Bachillerato son fumadores. En base a esto, calcule la probabilidad aproximada de que, al menos, haya 310 alumnos fumadores de los 3.000 que se presentan al examen de selectividad.
Datos
  • Si ZZ es una variable con distribución N(0,1)N(0,1), entonces P(Z<0,578)=0,718P(Z < 0{,}578) = 0{,}718
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