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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSAragónPAU 2014Extraordinaria

Matemáticas CCSS · Aragón 2014

3 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. Elija una de las dos opciones propuestas, A o B. En cada pregunta se señala la puntuación máxima.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
3,5 puntos
a
Dadas las matrices:A=(2131−10),B=(1−12001),C=(2314),D=(1805) A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad C = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}, \qquad D = \begin{pmatrix} 1 & 8 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} Encontrar, si existe, una matriz XX tal que se verifique:AB+2CX=D A B + 2 C X = D 2,5 pts
b
Encontrar el rango de la matriz:(102−1−111−15) \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 5 \end{pmatrix} 1 pt
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Ejercicio 2

2
3,5 puntos
a
Dada la función:f(x)=x2+4x f(x) = \frac{x^2 + 4}{x} Encontrar los extremos absolutos de ff en el intervalo x∈[1,5]x \in [1, 5].2 pts
b
Calcular:∫14(2−e3x) dx \int_{1}^{4} (2 - e^{3x}) \, dx 1,5 pts
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Ejercicio 3

3
3 puntos
Juan tiene dos urnas A y B. En la urna A hay 4 bolas blancas y 2 bolas negras y en la urna B hay 6 bolas blancas y 8 bolas negras. Juan cierra los ojos y mete la mano en la urna A, saca una bola y, sin mirarla, la pasa a la urna B. Así, la urna B queda con 15 bolas: las 14 originales y la que Juan pasó desde la urna A. Después, Juan mete la mano en la urna B, revuelve las bolas, y saca una bola.
a
¿Cuál es la probabilidad de que la bola que saca de la urna B sea exactamente la misma que la que pasó desde la urna A?1 pt
b
¿Cuál es la probabilidad de que la bola que saca de la urna B sea blanca?1 pt
c
Si la bola que saca de la urna B es blanca, ¿qué probabilidad hay de que la bola que pasó desde la urna A fuera blanca?1 pt
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Ejercicio 1

1
3,5 puntos
Una empresa tiene dos fábricas A y B en las que produce acero. Por cada hora de funcionamiento de la fábrica A se producen 5 Tm de acero y 3 Tm de desperdicios y se emiten a la atmósfera 2 Tm de dióxido de carbono. Por cada hora de funcionamiento de la fábrica B se producen 6 Tm de acero y 1 Tm de desperdicios y se emiten a la atmósfera 4 Tm de dióxido de carbono. Por normativa medioambiental, la empresa no puede producir (entre las dos fábricas) más de 48 Tm de desperdicios al día ni puede emitir a la atmósfera (entre las dos fábricas) más de 72 Tm de dióxido de carbono al día. Por otra parte, cada una de las fábricas debe funcionar al menos 6 horas al día, y ninguna de las dos puede funcionar más de 18 horas al día. Plantear y resolver un problema de programación lineal que permita determinar cuántas horas al día debe funcionar cada fábrica para maximizar la cantidad de acero producida por la empresa, teniendo en cuenta las restricciones anteriores.
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Ejercicio 2

2
3,5 puntos
a
Dada la función:f=xy f = xy definida para x∈(0,9), y∈(0,3)x \in (0, 9), \ y \in (0, 3), encontrar el punto (x,y)(x, y) que maximiza ff sujeto a la restricción x+y2=9x + y^2 = 9.2 pts
b
Calcular:∫12(7x2+3x) dx \int_{1}^{2} \left(7x^2 + \frac{3}{x}\right) \, dx 1,5 pts
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Ejercicio 3

3
3 puntos
Se desea estimar la proporción de individuos con sobrepeso en una población. Para ello se va a tomar una muestra aleatoria simple y se va a determinar, de cada individuo, si tiene sobrepeso o no, y a partir de los resultados se construirá un intervalo de confianza para la proporción de individuos con sobrepeso en la población. El intervalo se hará a un nivel de confianza del 96%.
a
Si queremos que el intervalo no tenga una amplitud mayor que 0,10{,}1 ¿qué tamaño de la muestra debemos escoger?2 pts
b
Decidimos tomar una muestra de tamaño 200 individuos, de los cuales 40 tienen sobrepeso. Calcular el intervalo de confianza al 96% para la proporción de individuos con sobrepeso en la población.1 pt
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