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la cuevadel empollón
Matemáticas IICastilla y LeónPAU 2014Extraordinaria

Matemáticas II · Castilla y León 2014

8 ejercicios

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
a)1,5 pts
Resolver la siguiente ecuación matricial X⋅A=B−CX \cdot A = B - C, siendo A=(5231)A = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}, B=(213−2)B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -2 \end{pmatrix} y C=(1−112)C = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}.
b)1 pts
Sean F1,F2F_1, F_2 y F3F_3 las filas de una matriz cuadrada de orden 3 cuyo determinante vale 5. Calcular razonadamente el valor del determinante de la matriz cuyas filas son respectivamente 3F1−F3,F23F_1 - F_3, F_2 y 2F32F_3.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2,5 puntos
Sea el sistema de ecuaciones lineales {mx−y=1−x+my=1−2m\begin{cases} mx - y = 1 \\ -x + my = 1 - 2m \end{cases}
a)1,5 pts
Discutir el sistema según los valores de mm.
b)1 pts
Hallar los valores de mm para los que el sistema tenga alguna solución en la que x=2x = 2.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
Sea el punto A(1,1,3)A(1,1,3) y la recta de ecuación r≡{x−y+2=0z=2r \equiv \begin{cases} x - y + 2 = 0 \\ z = 2 \end{cases}
a)1 pts
Calcular el plano perpendicular a la recta rr que pase por AA.
b)1,5 pts
Calcular la distancia del punto AA a la recta rr.
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2,5 puntos
a)1,5 pts
Dados el punto A(1,5,3)A(1,5,3), la recta r≡x−12=y+2=z+1r \equiv \frac{x - 1}{2} = y + 2 = z + 1 y el plano π≡3x−2y+z+5=0\pi \equiv 3x - 2y + z + 5 = 0, determinar el punto BB de π\pi tal que la recta ABAB sea paralela a la recta rr.
b)1 pts
Hallar las coordenadas de un vector de módulo 1 que sea perpendicular a los vectores PQ⃗\vec{PQ} y PR⃗\vec{PR}, siendo P(1,3,1)P(1,3,1), Q(1,0,2)Q(1,0,2) y R(0,1,1)R(0,1,1).
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
Sea la función f(x)=x2e−xf(x) = x^2 e^{-x}. Determinar sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, intervalos de concavidad y convexidad, puntos de inflexión y asíntotas. Esbozar su gráfica.
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2,5 puntos
Se desea construir un depósito de chapa (en forma de prisma recto, abierto y de base cuadrada) con una capacidad de 32.00032.000 litros. ¿Cuáles han de ser las dimensiones del depósito para que se precise la menor cantidad de chapa posible en su construcción?
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
a)1 pts
Hallar el punto en el que la recta tangente a la gráfica de la función f(x)=x2−x+4f(x) = x^2 - x + 4 es paralela a la recta de ecuación y=5x−7y = 5x - 7.
b)1,5 pts
Calcular el área delimitada por la parábola de ecuación y=2x2y = 2x^2 y la recta y=2x+4y = 2x + 4.
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos
a)1 pts
Enunciar e interpretar geométricamente el Teorema de Rolle.
b)1,5 pts
Hallar la primitiva de f(x)=x2ln⁡xf(x) = x^2 \ln x cuya gráfica pasa por el punto (1,2)(1, 2).
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