Matemáticas II · Navarra 2014

Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvelo en los casos en que es compatible: $$\begin{cases} (a - 1) x + (a + 2) y = 5 \\ (1 - a) x + (- 1 - a) y + 2 z = - 4 \\ y + (a^2 + a) z = 2 - a \end{cases}$$

Dada la matriz $$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ encuentra todas las matrices $B$ que cumplen $ABA = A$.

Encuentra la ecuación continua de la recta $r$ que pasa por el punto $P \equiv (2, 3, -1)$ y es paralela a los planos $\pi_1 \equiv 2x - y + 3z - 1 = 0$ y $\pi_2 \equiv x + y - 2z + 3 = 0$.

Encuentra la ecuación continua de la recta $r$ que pasa por el punto $P \equiv (-1, 5, 6)$ y corta a las rectas $$r_1 \equiv \begin{cases} x + z + 1 = 0 \\ 3x + y - z - 8 = 0 \end{cases} \quad \text{y} \quad r_2 \equiv \frac{x + 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z}{2}$$

Calcula las siguientes integrales indefinidas:

Dada la función $$f(x) = \frac{\cos(x^3 + 2x^2 + 3x)}{\sqrt{x^2 + x} + 2}$$ demuestra que existe un valor $\alpha \in (-2, 1)$ tal que $f'(\alpha) = 0$. Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.

Dada la función $$f(x) = \operatorname{tg} \left(\frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{6x}\right) + \frac{2}{\sqrt{17 - 2x - 3x^2}}$$ demuestra que existe un valor $\alpha \in (1, 2)$ tal que $f'(\alpha) = 1$. Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.

Dada la función $f(x) = 1 - \frac{1}{4}x^2$, encuentra los dos puntos en que corta al eje de abscisas. Calcula el área de cada una de las dos regiones en que divide esa curva al círculo de centro $(0, 0)$ y radio $2$.