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la cuevadel empollón
Matemáticas IINavarraPAU 2014Ordinaria

Matemáticas II · Navarra 2014

4 ejercicios

Instrucciones

Realiza una de las dos opciones propuestas (A o B)
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Ejercicio 1

1
3 puntos
Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real aa y resuélvelo en los casos en que es compatible:{(a−1)x+(a+2)y=5(1−a)x+(−1−a)y+2z=−4y+(a2+a)z=2−a\begin{cases} (a - 1) x + (a + 2) y = 5 \\ (1 - a) x + (- 1 - a) y + 2 z = - 4 \\ y + (a^2 + a) z = 2 - a \end{cases}
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Encuentra la ecuación continua de la recta rr que pasa por el punto P≡(2,3,−1)P \equiv (2, 3, -1) y es paralela a los planos π1≡2x−y+3z−1=0\pi_1 \equiv 2x - y + 3z - 1 = 0 y π2≡x+y−2z+3=0\pi_2 \equiv x + y - 2z + 3 = 0.
a
Encuentra la ecuación continua de la recta rr.
b
Encuentra el punto Q∈rQ \in r que está en el plano x=0x = 0.
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Calcula las siguientes integrales indefinidas:
a
∫dxx2−x\int \frac{dx}{x^2 - x}1 pt
b
∫xsen⁡(2x)dx\int x \operatorname{sen}(2x) dx1 pt
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Ejercicio 4

4
3 puntos
Dada la funciónf(x)=tg⁡(π12+π6x)+217−2x−3x2f(x) = \operatorname{tg} \left(\frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{6x}\right) + \frac{2}{\sqrt{17 - 2x - 3x^2}}demuestra que existe un valor α∈(1,2)\alpha \in (1, 2) tal que f′(α)=1f'(\alpha) = 1. Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.
Datos
  • Ayuda: tg⁡(π4)=1\operatorname{tg} (\frac{\pi}{4}) = 1
  • tg⁡(π6)=13\operatorname{tg} (\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}}
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Ejercicio 1

1
2 puntos
Dada la matrizA=(1−10001)A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}encuentra todas las matrices BB que cumplen ABA=AABA = A.
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Ejercicio 2

2
3 puntos
Encuentra la ecuación continua de la recta rr que pasa por el punto P≡(−1,5,6)P \equiv (-1, 5, 6) y corta a las rectasr1≡{x+z+1=03x+y−z−8=0yr2≡x+11=y−22=z2r_1 \equiv \begin{cases} x + z + 1 = 0 \\ 3x + y - z - 8 = 0 \end{cases} \quad \text{y} \quad r_2 \equiv \frac{x + 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z}{2}
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Dada la funciónf(x)=cos⁡(x3+2x2+3x)x2+x+2f(x) = \frac{\cos(x^3 + 2x^2 + 3x)}{\sqrt{x^2 + x} + 2}demuestra que existe un valor α∈(−2,1)\alpha \in (-2, 1) tal que f′(α)=0f'(\alpha) = 0. Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.
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Ejercicio 4

4
3 puntos
Dada la función f(x)=1−14x2f(x) = 1 - \frac{1}{4}x^2, encuentra los dos puntos en que corta al eje de abscisas. Calcula el área de cada una de las dos regiones en que divide esa curva al círculo de centro (0,0)(0, 0) y radio 22.
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