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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSAndalucíaPAU 2011Extraordinaria

Matemáticas CCSS · Andalucía 2011

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Elija una de las dos opciones propuestas y conteste los ejercicios de la opción elegida. c) En cada ejercicio, parte o apartado se indica la puntuación máxima que le corresponde. d) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. e) Si obtiene resultados directamente con la calculadora, explique con detalle los pasos necesarios para su obtención sin su ayuda. Justifique las respuestas.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Se considera el recinto R del plano, determinado por las siguientes inecuaciones:x+y≥2,x+3y≤15,3x−y≤15,x≥0,y≥0x + y \geq 2, \quad x + 3y \leq 15, \quad 3x - y \leq 15, \quad x \geq 0, \quad y \geq 0
a
Represente gráficamente el recinto R y calcule sus vértices.1,5 pts
b
Halle los valores máximo y mínimo que alcanza la función F(x,y)=3x+yF(x, y) = 3x + y en dicho recinto.0,5 pts
c
Razone si existen puntos (x,y)(x, y) del recinto, para los que F(x,y)=30F(x, y) = 30.0,5 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
a
Halle el dominio, los puntos de corte con los ejes, y las asíntotas de la funciónf(x)=4x2x+1f(x) = \frac{4x}{2x + 1}1,25 pts
b
Halle los intervalos de monotonía, los extremos relativos, los intervalos de curvatura y los puntos de inflexión de la función g(x)=x3+3x2+3xg(x) = x^3 + 3x^2 + 3x.1,25 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
En un sistema de alarma, la probabilidad de que haya un incidente es 0,10{,}1. Si éste se produce, la probabilidad de que la alarma suene es 0,950{,}95. La probabilidad de que suene la alarma sin que haya incidente es de 0,030{,}03.
a
¿Cuál es la probabilidad de que suene la alarma?1,5 pts
b
Si ha sonado la alarma, calcule la probabilidad de que no haya habido incidente.1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Suponiendo que la variable “años de vida de los individuos de un país” sigue una distribución Normal con desviación típica 8,98{,}9 años, se desea contrastar la hipótesis de que la vida media de los mismos no supera los 7070 años. A partir de una muestra aleatoria de 100100 individuos se ha obtenido que su vida media ha sido 71,871{,}8 años.
a
Formule el contraste de hipótesis que indica el enunciado.0,5 pts
b
Determine la región crítica a un nivel de significación del 5%5\%.1 pt
c
Con los datos muestrales, ¿existe evidencia estadística para rechazar la hipótesis a ese nivel de significación?1 pt
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Sean las matrices A=(010101)A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} y B=(3−112)B = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}
a
Efectúe, si es posible, los siguientes productos:A⋅At;At⋅A;A⋅BA \cdot A^t; \quad A^t \cdot A; \quad A \cdot B1,25 pts
b
Resuelva la siguiente ecuación matricial A⋅At⋅X=BA \cdot A^t \cdot X = B1,25 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Sea la función f(x)={x2−3x+4si x≤24−axsi x>2f(x) = \begin{cases} x^2 - 3x + 4 & \text{si } x \leq 2 \\ 4 - \frac{a}{x} & \text{si } x > 2 \end{cases}
a
Halle el valor de aa para que dicha función sea continua y estudie la derivabilidad de ff para ese valor de aa.1,5 pts
b
Para a=1a = 1, ¿existe alguna asíntota vertical de esa función? ¿Y horizontal? Razone las respuestas y calcule, en caso afirmativo, dichas asíntotas.1 pt
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Sean AA y BB dos sucesos aleatorios tales que:P(A)=0,4,P(B)=0,5yP(A∩B)=0,2P(A) = 0{,}4, \quad P(B) = 0{,}5 \quad \text{y} \quad P(A \cap B) = 0{,}2
a
Calcule las siguientes probabilidades: P(A∪B)P(A \cup B), P(A/B)P(A/B) y P(B/Ac)P(B/A^c).1,5 pts
b
Razone si AA y BB son sucesos incompatibles.0,5 pts
c
Razone si AA y BB son independientes.0,5 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Sea XX una variable aleatoria Normal de media 5050 y desviación típica 44. Se toman muestras de tamaño 1616.
a
¿Cuál es la distribución de la media muestral?1 pt
b
¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral esté comprendida entre 47,547{,}5 y 52,552{,}5?1,5 pts
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