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la cuevadel empollón
Matemáticas IICastilla y LeónPAU 2015Extraordinaria

Matemáticas II · Castilla y León 2015

4 ejercicios

Instrucciones

1.- OPTATIVIDAD: El alumno deberá escoger una de las dos opciones, pudiendo desarrollar los cuatro ejercicios de la misma en el orden que desee. 2.- CALCULADORA: Se permitirá el uso de calculadoras no programables (que no admitan memoria para texto ni representaciones gráficas). CRITERIOS GENERALES DE EVALUACIÓN: Cada ejercicio se puntuará sobre un máximo de 2,5 puntos. Se observarán fundamentalmente los siguientes aspectos: Correcta utilización de los conceptos, definiciones y propiedades relacionadas con la naturaleza de la situación que se trata de resolver. Justificaciones teóricas que se aporten para el desarrollo de las respuestas. Claridad y coherencia en la exposición. Precisión en los cálculos y en las notaciones. Deben figurar explícitamente las operaciones no triviales, de modo que puedan reconstruirse la argumentación lógica y los cálculos.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Consideremos el sistema {x+2y+3z=4(a+3)y=0(a+2)z=1\begin{cases} x + 2y + 3z = 4 \\ (a + 3)y = 0 \\ (a + 2)z = 1 \end{cases}
a
Discutir el sistema según los valores del parámetro aa.1,25 pts
b
Resolverlo cuando sea posible.1,25 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Sean las rectas r≡x=y=zr \equiv x = y = z y s≡{x−y=1x−3z=1s \equiv \begin{cases} x - y = 1 \\ x - 3z = 1 \end{cases}
a
Comprobar que las rectas rr y ss se cruzan.0,5 pts
b
Calcular la recta que corta perpendicularmente a las rectas rr y ss.2 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Consideremos la función f(x)=x2−1x2+1f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}. Calcular dominio, asíntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos y puntos de inflexión.
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
a
Enunciar e interpretar geométricamente el Teorema de Rolle.1 pt
b
Hallar la primitiva de la función f(x)=x2ln⁡xf(x) = x^2 \ln x cuya gráfica pasa por el punto (1,0)(1, 0).1,5 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Consideremos la matriz M=(a(a−4)a−4a−4a(a−4))M = \begin{pmatrix} a(a - 4) & a - 4 \\ a - 4 & a(a - 4) \end{pmatrix}
a
Calcular el rango de MM en función del parámetro aa.1,5 pts
b
Para a=1a = 1, resolver la ecuación M(xy)=−6(xy)M \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = -6 \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}.1 pt
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
a
Determinar la ecuación del plano que es perpendicular al segmento de extremos A=(0,−1,3)A = (0, -1, 3) y B=(2,−1,1)B = (2, -1, 1) y que pasa por el punto medio de dicho segmento.1,25 pts
b
Hallar el área del triángulo cuyos vértices son los cortes del plano 2x+y+2z−2=02x + y + 2z - 2 = 0 con los ejes coordenados.1,25 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Consideremos la función definida a trozos f(x)={ax2+bx+c,si x≤2ln⁡(x−1),si x>2f(x) = \begin{cases} ax^2 + bx + c, & \text{si } x \leq 2 \\ \ln(x - 1), & \text{si } x > 2 \end{cases}. Hallar los valores de a,ba, b y cc para que f(x)f(x) sea continua en toda la recta real y tenga un extremo relativo en el punto (1,−1)(1, -1).
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
a
Calcular lim⁡x→0(cos⁡x)1x2\lim_{x \to 0} (\cos x)^{\frac{1}{x^2}}.1 pt
b
Calcular el área de la región comprendida entre las gráficas de las funciones cos⁡x\cos x y sen⁡x\sen x y las rectas x=0x = 0 y x=π2x = \frac{\pi}{2}.1,5 pts
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