Matemáticas II · Cataluña 2013

Sea $V = \{(-1, 1, 1), (-2, -1, 0), (1, 2, a)\}$ un conjunto de vectores de $\mathbb{R}^3$.

De la función polinómica $P(x) = x^3 + ax^2 + bx + 2$ sabemos que: — tiene un extremo relativo en el punto de abscisa $x = -3$; — la integral definida en el intervalo $[0, 1]$ vale $-\frac{5}{4}$. Calcule el valor de los parámetros $a$ y $b$.

Dados el plano $\pi: x + 2y - z = 3$ y la recta $r: \frac{x - 1}{2} = y = \frac{z + m}{4}$.

Sean las matrices $$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 2 & a & 1 \\ 1 & b & 4 \\ 3 & c & 5 \end{pmatrix}, \mathbf{B} = \begin{pmatrix} 5 & b & 8 \\ 1 & c & 3 \\ 4 & a & 3 \end{pmatrix}, \mathbf{C} = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 7 \\ -1 & 5 & 5 \\ -b & -a & -2 \end{pmatrix}$$ donde $a$, $b$ y $c$ son parámetros reales. Calcule el valor de estos parámetros para que ninguna de las tres matrices tenga inversa.

Dados el plano $\pi: 2x - y + 3z - 8 = 0$ y el punto $P = (6, -3, 7)$,

Queremos construir una tienda en forma de pirámide regular de base cuadrada. Disponemos de $300\,\text{m}^2$ de tela para la fabricación de las cuatro caras de la tienda (se supone que en la elaboración de las caras no se pierde nada de tela). Designamos $x$ la longitud de un lado de la base de la tienda.