Saltar al contenido
la cuevadel empollón
Matemáticas IICataluñaPAU 2013Extraordinaria

Matemáticas II · Cataluña 2013

6 ejercicios

Instrucciones

Responda a CINCO de las seis cuestiones siguientes. En las respuestas, explique siempre qué quiere hacer y por qué. Puede utilizar calculadora, pero no se autorizará el uso de calculadoras u otros aparatos que lleven información almacenada o que puedan transmitir o recibir información.

Ejercicio 1

1
2 puntos
Sea V={(−1,1,1),(−2,−1,0),(1,2,a)}V = \{(-1, 1, 1), (-2, -1, 0), (1, 2, a)\} un conjunto de vectores de R3\mathbb{R}^3.
a
Encuentre el valor o los valores de aa para que VV sea linealmente dependiente.1 pt
b
Cuando a=4a = 4, exprese el vector v⃗=(3,9,14)\vec{v} = (3, 9, 14) como combinación lineal de los vectores de VV.1 pt
Ver este ejercicio

Ejercicio 2

2
2 puntos
De la función polinómica P(x)=x3+ax2+bx+2P(x) = x^3 + ax^2 + bx + 2 sabemos que: — tiene un extremo relativo en el punto de abscisa x=−3x = -3; — la integral definida en el intervalo [0,1][0, 1] vale −54-\frac{5}{4}. Calcule el valor de los parámetros aa y bb.
Ver este ejercicio

Ejercicio 3

3
2 puntos
Dados el plano π:x+2y−z=3\pi: x + 2y - z = 3 y la recta r:x−12=y=z+m4r: \frac{x - 1}{2} = y = \frac{z + m}{4}.
a
Compruebe que el vector característico (o normal) de π\pi y el vector director de rr son perpendiculares.1 pt
b
Estudie la posición relativa de π\pi y rr en función del parámetro mm.1 pt
Ver este ejercicio

Ejercicio 4

4
2 puntos
Sean las matricesA=(2a11b43c5),B=(5b81c34a3),C=(247−155−b−a−2)\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 2 & a & 1 \\ 1 & b & 4 \\ 3 & c & 5 \end{pmatrix}, \mathbf{B} = \begin{pmatrix} 5 & b & 8 \\ 1 & c & 3 \\ 4 & a & 3 \end{pmatrix}, \mathbf{C} = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 7 \\ -1 & 5 & 5 \\ -b & -a & -2 \end{pmatrix}donde aa, bb y cc son parámetros reales. Calcule el valor de estos parámetros para que ninguna de las tres matrices tenga inversa.
Ver este ejercicio

Ejercicio 5

5
2 puntos
Dados el plano π:2x−y+3z−8=0\pi: 2x - y + 3z - 8 = 0 y el punto P=(6,−3,7)P = (6, -3, 7),
a
Encuentre la ecuación continua de la recta que pasa por PP y es perpendicular a π\pi.1 pt
b
Encuentre el punto del plano π\pi que está más cercano al punto PP.1 pt
Ver este ejercicio

Ejercicio 6

6
2 puntos
Queremos construir una tienda en forma de pirámide regular de base cuadrada. Disponemos de 300 m2300\,\text{m}^2 de tela para la fabricación de las cuatro caras de la tienda (se supone que en la elaboración de las caras no se pierde nada de tela). Designamos xx la longitud de un lado de la base de la tienda.
Diagrama de una pirámide de base cuadrada con lado x, altura h y apotema a.
a
Sabiendo que el volumen de una pirámide es igual a un tercio del producto del área de la base por la altura, compruebe que, en este caso,V(x)=x(9⋅104)−x46V(x) = \frac{x \sqrt{(9 \cdot 10^4) - x^4}}{6}1 pt
b
Determine el valor de xx para que el volumen sea el más grande posible (no es necesario que compruebe que el valor obtenido corresponde realmente a un máximo).1 pt
Ver este ejercicio