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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAsturiasPAU 2012Ordinaria

Matemáticas II · Asturias 2012

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. La puntuación de cada pregunta está indicada en la misma. b) Tiene que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B. c) Conteste de forma razonada y escriba ordenadamente y con letra clara. d) Todos los procesos que conducen a resultados deben estar suficientemente justificados y completamente explicados.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Dado el número real aa se considera la matriz A=(a−12a−10a+1−1−a11a)A = \begin{pmatrix} a - 1 & 2 & a - 1 \\ 0 & a + 1 & -1 - a \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix}.
a
Halle los valores de aa para los cuales la matriz AA tiene inversa.1,25 pts
b
Busque, si es posible, la matriz inversa de AA en el caso a=0a = 0.1,25 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
a
Obtenga la posición relativa de los planos π1\pi_1, que pasa por los puntos A(1,0,0)A(1,0,0), B(0,2,0)B(0,2,0) y C(0,0,−1)C(0,0,-1), y π2\pi_2, que pasa por A′(3,0,0)A'(3,0,0), B′(0,6,0)B'(0,6,0) y C′(0,0,−3)C'(0,0,-3).1,25 pts
b
Busque la mínima distancia entre los planos anteriores.1,25 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Se considera la curva y=11+x2y = \frac{1}{1 + x^2}.
a
Halle el punto de la curva en el que la recta tangente a su gráfica tiene pendiente máxima.1,5 pts
b
Calcule el valor de esa pendiente.1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Calcule ∫exe2x−1dx\int \frac{e^x}{e^{2x} - 1} dx haciendo el cambio de variable ex=te^x = t.
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Dado el sistema{(a−1)x+2y+(a−1)z=1+a(a+1)y−(a+1)z=2x+y+az=a\begin{cases} (a - 1) x + 2 y + (a - 1) z = 1 + a \\ (a + 1) y - (a + 1) z = 2 \\ x + y + a z = a \end{cases}
a
Estudie su compatibilidad según los valores de aa.1,5 pts
b
Resuélvalo cuando a=0a = 0.1 pt
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
a
Halle la posición relativa de la recta r:x+11=y−12=z−23r : \frac{x + 1}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 2}{3} y el plano π:2x+4y−3z=15\pi : 2x + 4y - 3z = 15.1 pt
b
En caso de cortarse, halle el corte.1,5 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
a
Calcule lim⁡x→1f(x)\lim_{x \to 1} f(x) siendo f(x)={x2−1x−1si x≠13si x=1f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 1}{x - 1} & \text{si } x \neq 1 \\ 3 & \text{si } x = 1 \end{cases}.1,5 pts
b
¿Es la función ff derivable en x=1x=1? Justifique su respuesta.1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Calcule ∫0π2(e2x+xcos⁡x)dx\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (e^{2x} + x \cos x) dx.
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