Matemáticas II · Asturias 2012

Halle los valores de $a$ para los cuales la matriz $A$ tiene inversa.

Busque, si es posible, la matriz inversa de $A$ en el caso $a = 0$.

Estudie su compatibilidad según los valores de $a$.

Resuélvalo cuando $a = 0$.

Obtenga la posición relativa de los planos $\pi_1$, que pasa por los puntos $A(1,0,0)$, $B(0,2,0)$ y $C(0,0,-1)$, y $\pi_2$, que pasa por $A'(3,0,0)$, $B'(0,6,0)$ y $C'(0,0,-3)$.

Busque la mínima distancia entre los planos anteriores.

Halle la posición relativa de la recta $r : \frac{x + 1}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 2}{3}$ y el plano $\pi : 2x + 4y - 3z = 15$.

En caso de cortarse, halle el corte.

Halle el punto de la curva en el que la recta tangente a su gráfica tiene pendiente máxima.

Calcule el valor de esa pendiente.

Calcule $\lim_{x \to 1} f(x)$ siendo $f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 1}{x - 1} & \text{si } x \neq 1 \\ 3 & \text{si } x = 1 \end{cases}$.

¿Es la función $f$ derivable en $x=1$? Justifique su respuesta.