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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSLa RiojaPAU 2013Ordinaria

Matemáticas CCSS · La Rioja 2013

7 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. Contesta sólo una de las dos opciones propuestas (OPCIÓN A/OPCIÓN B).
Elige una opción

Ejercicio 1

1
1 punto
Parte A1

Responda a cuatro de las cinco preguntas de la Parte A1.

Consideremos el sistema de ecuaciones{ax−ya=1−ax+ay=2\begin{cases} a x - \frac{y}{a} = 1 \\ - a x + a y = 2 \end{cases}donde aa es un cierto parámetro que no es nunca cero. ¿Existe algún valor de aa para el que el sistema sea incompatible? Resolver el sistema para un valor del parámetro aa para el que sea compatible.
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Ejercicio 2

2
1 punto
Parte A1

Responda a cuatro de las cinco preguntas de la Parte A1.

Sea f(x)f(x) una cierta función definida en el intervalo (−2,2)(-2,2). Si su función derivada f′(x)f'(x) tiene la representación gráfica que aparece a la izquierda, determinar, razonadamente, los extremos relativos de la función en el intervalo (−2,2)(-2,2).
Gráfica de la función derivada f'(x) en el intervalo (-2, 2) con cortes en el eje x en -3/2, 0 y 3/2.
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Ejercicio 3

3
1 punto
Parte A1

Responda a cuatro de las cinco preguntas de la Parte A1.

Calcular el siguiente límitelim⁡x→−1(2x2+4x2−1−3x−1).\lim_{x \rightarrow -1} \left(\frac{2 x^2 + 4}{x^2 - 1} - \frac{3}{x - 1}\right).
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Ejercicio 4

4
1 punto
Parte A1

Responda a cuatro de las cinco preguntas de la Parte A1.

En mi instituto hablan inglés el 60% de los chicos y el 70% de las chicas. Si el 40% de los alumnos son chicas, calcula el porcentaje de alumnos del centro que hablan inglés.
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Ejercicio 5

5
1 punto
Parte A1

Responda a cuatro de las cinco preguntas de la Parte A1.

Se supone que el tiempo de espera desde que se pide un pincho en la calle Laurel hasta que nos lo sirven se puede aproximar mediante una variable aleatoria con distribución normal de desviación típica 0,50{,}5 minutos y tiempo medio de espera 66 minutos. Se toma una muestra aleatoria de 100100 pedidos. Determínese un intervalo de confianza al 90% para el tiempo medio de espera de un pedido de pinchos en la calle Laurel.
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Ejercicio 6

6
3 puntos
Parte A2
Consideremos la matrizA=(a−1−2a+31a−1).A = \begin{pmatrix} a - 1 & - 2 a + 3 \\ 1 & a - 1 \end{pmatrix}.(Nota: AtA^t indica la matriz traspuesta de la matriz AA.)
a
Determinar los valores de aa para los que existe la matriz inversa A−1A^{-1}.1 pt
b
Tomando a=1a = 1, calcular las matrices B=A−1⋅AtB = A^{-1} \cdot A^t y C=(At)2C = (A^t)^2.1 pt
c
Tomando a=−1a = -1, determinar una matriz XX tal que 6⋅A⋅X−At=A⋅(At)26 \cdot A \cdot X - A^t = A \cdot (A^t)^2.1 pt
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Ejercicio 7

7
3 puntos
Parte A2
Una empresa vitivinícola tiene una cuarta parte de sus viñedos en Rioja Alta y los restantes en Rioja Alavesa. En los viñedos de Rioja Alta un tercio de las fincas están plantadas con cepas de la variedad garnacha y las restantes con cepas de la variedad tempranillo. En el caso de Rioja Alavesa, el número de fincas de ambas variedades es igual.
a
¿Cuál es la probabilidad de que al elegir una finca al azar sea de la variedad garnacha?1 pt
b
Si la finca elegida es de uva garnacha, ¿cuál es la probabilidad de que esté situada en Rioja Alavesa?1 pt
c
Si durante el año pasado una décima parte del total de las fincas de la empresa tuvo una plaga de cochinilla y, entre ellas, la décima parte era de uva garnacha. Usando el apartado a), calcula la probabilidad de que una finca de uva garnacha no sufriese la plaga durante el año pasado.1 pt
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Ejercicio 8

8
1 punto
Parte B1

Responda a cuatro de las cinco preguntas de la Parte B1.

Consideremos el sistema de ecuaciones{ax−ya=1−ax+ay=2\begin{cases} a x - \frac{y}{a} = 1 \\ - a x + a y = 2 \end{cases}donde aa es un cierto parámetro que no es nunca cero. ¿Existe algún valor de aa para el que el sistema sea incompatible? Resolver el sistema para un valor del parámetro aa para el que sea compatible.
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Ejercicio 9

9
1 punto
Parte B1

Responda a cuatro de las cinco preguntas de la Parte B1.

Sea f(x)f(x) una cierta función definida en el intervalo (−2,2)(-2,2). Si su función derivada f′(x)f'(x) tiene la representación gráfica que aparece a la izquierda, determinar, razonadamente, los extremos relativos de la función en el intervalo (−2,2)(-2,2).
Gráfica de la función derivada f'(x) en el intervalo (-2, 2) con cortes en el eje x en -3/2, 0 y 3/2.
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Ejercicio 10

10
1 punto
Parte B1

Responda a cuatro de las cinco preguntas de la Parte B1.

Calcular el siguiente límitelim⁡x→−1(2x2+4x2−1−3x−1).\lim_{x \rightarrow -1} \left(\frac{2 x^2 + 4}{x^2 - 1} - \frac{3}{x - 1}\right).
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Ejercicio 11

11
1 punto
Parte B1

Responda a cuatro de las cinco preguntas de la Parte B1.

En mi instituto hablan inglés el 60% de los chicos y el 70% de las chicas. Si el 40% de los alumnos son chicas, calcula el porcentaje de alumnos del centro que hablan inglés.
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Ejercicio 12

12
1 punto
Parte B1

Responda a cuatro de las cinco preguntas de la Parte B1.

Se supone que el tiempo de espera desde que se pide un pincho en la calle Laurel hasta que nos lo sirven se puede aproximar mediante una variable aleatoria con distribución normal de desviación típica 0,50{,}5 minutos y tiempo medio de espera de 66 minutos. Se toma una muestra aleatoria de 100100 pedidos. Determínese un intervalo de confianza al 90% para el tiempo medio de espera de un pedido de pinchos en la calle Laurel.
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Ejercicio 13

13
3 puntos
Parte B2
Sea la función f(x)=x2−4x2f(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2}.
a
Determinar el dominio de la función y, si existen, sus asíntotas.1 pt
b
Determinar, si existen, los puntos de la función en los que la recta tangente es paralela a la recta y=x+2013y = x + 2013.1 pt
c
Calcular la integral definida ∫12x2⋅f(x)dx\int_{1}^{2} x^2 \cdot f(x) dx.1 pt
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Ejercicio 14

14
3 puntos
Parte B2
Tomemos las restricciones−x+2≤y≤−2x+4,x≤y≤2x.- x + 2 \leq y \leq - 2 x + 4, \quad x \leq y \leq 2 x.
a
Dibujar la región factible asociada con las restricciones anteriores.1 pt
b
Maximizar la función f(x,y)=3x+6yf(x, y) = 3x + 6y sujeta a las restricciones anteriores.1 pt
c
Da una función objetivo g(x,y)g(x, y) de forma que el problema de maximizarla sujeta a las restricciones dadas tenga infinitas soluciones.1 pt
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